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积分是把局部贡献汇总成整体量的数学运算。定积分给出指定区间内的累计量；不定积分表示一个函数的全部原函数。二者通过[[微积分]]基本定理联系起来，但含义并不相同。

== 从小矩形到黎曼积分 ==
设 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 上有界，把区间分成小段，在第 <math>i</math> 段选择一点 <math>\xi_i</math>，构造和
<math display="block">\sum_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i.</math>
如果当最大分段长度趋于零时，这些和不依赖划分与取点而趋于同一个数，就称函数黎曼可积，该数记为 <math>\int_a^b f(x)\,dx</math>。闭区间上的连续函数一定黎曼可积。

[[File:Gezhi-integral-sums.svg|frame|center|alt=在零到一区间用四个右端点矩形近似曲线y等于x平方下面的面积|右端点矩形在递增函数的图像上方，给出高估；不断细分后，矩形总面积趋于积分。]]

对 <math>f(x)=x^2</math>、区间 <math>[0,1]</math>，等分成 <math>n</math> 段并取右端点：
<math display="block">\sum_{i=1}^n\left(\frac in\right)^2\frac1n=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6n^3}\longrightarrow\frac13.</math>
因此 <math>\int_0^1x^2\,dx=1/3</math>。这里积分的值来自极限，随后才可以用原函数更快捷地计算。

== 累计量带有符号和单位 ==
当 <math>f\ge0</math> 时，积分等于图像与横轴之间的面积；若函数可正可负，积分是上方面积减去下方面积。例如
<math display="block">\int_{-1}^1x\,dx=0,\qquad \int_{-1}^1|x|\,dx=1.</math>
前者是有向面积，后者才是几何总面积。如果 <math>v(t)</math> 是一维速度，<math>\int v(t)\,dt</math> 给出位移，<math>\int |v(t)|\,dt</math> 给出路程。若速度单位为米每秒、时间单位为秒，积分结果的单位为米。

== 用原函数计算定积分 ==
若 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 连续，且 <math>F'=f</math>，则
<math display="block">\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).</math>
例如 <math>F(x)=x^3/3</math> 是 <math>x^2</math> 的原函数，代入端点再次得到 <math>1/3</math>。不定积分则写作 <math>\int x^2\,dx=x^3/3+C</math>，其中 <math>C</math> 是任意常数；定积分结果不附加这个任意常数。

换元法来自链式法则。以 <math>u=x^2</math>、<math>du=2x\,dx</math>，有
<math display="block">\int_0^1 2xe^{x^2}\,dx=\int_0^1e^u\,du=e-1.</math>
换元时变量、微分因子与上下限必须一起变换，不能只把被积函数中的字母换掉。

== 不可积与反常积分 ==
有界不保证黎曼可积。例如有理数处取 1、无理数处取 0 的函数，在任意小区间内上下界仍为 1 和 0，黎曼上下和无法靠拢。

无穷区间或无界被积函数需要额外定义反常积分，并检查相应极限。比如
<math display="block">\int_0^1\frac{dx}{\sqrt{x}}=\lim_{\varepsilon\to0^+}2(1-\sqrt{\varepsilon})=2,</math>
而 <math>\int_0^1 dx/x</math> 发散。两者在 0 都无界，却有不同的可积性；不能直接在原函数中代入无定义的端点。

== 延伸阅读 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-2-the-definite-integral OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.2]：黎曼和与定积分。
* [[极限]] · [[导数]] · [[期望]] · [[环面]]
[[分类:分析]]