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微积分是研究连续变化与累积的数学分支，主要由微分学和积分学组成。微分学从函数研究局部变化率，积分学把局部量累积为整体量；极限为这两种过程提供严格的定义。

== 三个概念怎样联系 ==
[[极限]]回答“不断逼近时会发生什么”；[[导数]]通过差商的极限刻画瞬时变化；[[积分]]通过分割求和的极限刻画总量。这不是三个孤立的计算规则，而是一套互相联系的描述方式。

[[File:Gezhi-calculus-accumulation.svg|frame|center|alt=左图速度函数2t在零到一时间段的面积为一，右图对应累计位移函数t平方|速度曲线下的面积给出位置变化；位置曲线的切线斜率又给出速度。]]
例如物体位置为 <math>s(t)=t^2</math> 米（<math>t</math> 以秒计）时，速度为 <math>v(t)=2t</math> 米每秒。从 <math>t=1</math> 到 <math>t=3</math>，位移是 <math>9-1=8</math> 米，也可以由 <math>\int_1^3 2t\,dt=8</math> 求得。速度的数值不是位移，连接两者的是时间积分。

== 微积分基本定理 ==
设 <math>f</math> 在 <math>[a,b]</math> 连续，定义累计函数
<math display="block">A(x)=\int_a^x f(t)\,dt.</math>
基本定理的一部分说明，在区间内部有 <math>A'(x)=f(x)</math>。其原因可由增量理解：
<math display="block">\frac{A(x+h)-A(x)}h=\frac1h\int_x^{x+h}f(t)\,dt.</math>
右边是小区间上的平均值；连续性保证区间缩小时它趋于 <math>f(x)</math>。

另一方面，若 <math>F'=f</math>，那么
<math display="block">\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).</math>
因为 <math>A</math> 与 <math>F</math> 的导数相同，它们在该区间只相差一个常数。基本定理把繁琐的求和极限转化为求原函数与代入端点，但使用之前仍需检查函数及端点的条件。

== 不同问题需要不同工具 ==
{| class="wikitable"
! 问题 !! 数学量 !! 需要保留的信息
|-
| 某时刻变化多快 || 导数 || 自变量、单位、该点是否可导
|-
| 一段时间累计多少 || 定积分 || 上下限、正负方向、是否收敛
|-
| 变化率已知，求原量 || 原函数或微分方程 || 初始值决定积分常数
|-
| 寻找最大或最小值 || 导数与优化 || 驻点、不可导点及边界
|}
例如只知道速度为 <math>2t</math>，只能推出位置 <math>s(t)=t^2+C</math>。再知道 <math>s(0)=5</math>，才确定 <math>C=5</math>。变化率会丢失常数信息，积分无法凭空恢复初始位置。

== 解析解之外：数值近似 ==
不是每个原函数都能用有限个初等函数表示。数值积分仍可以近似定积分。例如用梯形法估计 <math>\int_0^1x^2\,dx</math>，一步得到 <math>1/2</math>，两等分得到 <math>3/8</math>，四等分得到 <math>11/32</math>，逐步接近真值 <math>1/3</math>。

近似结果需要误差控制。数据有噪声时，差分会把误差除以很小的步长，所以“步长越小就一定越准”并不成立；数值微分需要平衡截断误差与数据、舍入误差。

== 进一步的方向 ==
多元微积分把导数推广到偏导数、梯度和线性映射，把积分推广到平面、空间及曲线曲面。[[线性代数]]描述这些局部线性结构，[[微分方程]]描述未知函数与其导数之间的关系，[[数学建模]]则把现实假设转成可计算的量。

== 延伸阅读 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3]：微积分基本定理。
* [[导数]] · [[积分]] · [[优化]] · [[微分方程]]
[[分类:分析]]