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矩阵是按行与列排列的元素构成的矩形数组。一个 <math>m\times n</math> 矩阵有 <math>m</math> 行、<math>n</math> 列；元素通常来自实数或复数。矩阵既可以记录数据，也可以在选定基后表示[[向量空间]]之间的线性映射。

== 形状决定运算是否有意义 ==
记 <math>A=(a_{ij})</math>，下标 <math>i</math> 表示行，<math>j</math> 表示列。同形状矩阵可逐项相加；数乘是把每项乘以同一个数。矩阵乘法则不是逐项相乘。

若 <math>A</math> 是 <math>m\times n</math> 矩阵，<math>B</math> 是 <math>n\times p</math> 矩阵，乘积 <math>AB</math> 的形状为 <math>m\times p</math>，其元素是
<math display="block">(AB)_{ij}=\sum_{k=1}^n a_{ik}b_{kj}.</math>
中间维数必须相同。这条规则使得 <math>A(Bx)=(AB)x</math>，也就是先做 <math>B</math> 再做 <math>A</math> 的复合变换。

== 矩阵乘向量：列的线性组合 ==
设
<math display="block">A=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad x=\begin{pmatrix}u\\v\end{pmatrix}.</math>
那么 <math>Ax=(u+v,v)^{\mathsf T}</math>，也可看作第一列的 <math>u</math> 倍与第二列的 <math>v</math> 倍相加。上标 <math>\mathsf T</math> 表示转置，把行排列转为列排列。

[[File:Gezhi-matrix-shear.svg|frame|center|alt=单位正方形经过矩阵一一零一变换成为面积不变的平行四边形|变换 (u,v)→(u+v,v) 是水平剪切：横向基向量不变，纵向基向量移动到 (1,1)。]]
例如 <math>A(1,1)^{\mathsf T}=(2,1)^{\mathsf T}</math>。这种“看列向量”的方法比孤立记忆乘法口令更容易理解矩阵的作用。

== 次序为什么不能交换 ==
取 <math>B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}</math>，表示横向拉伸两倍。计算得到
<math display="block">AB=\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix},\qquad BA=\begin{pmatrix}2&2\\0&1\end{pmatrix}.</math>
因此 <math>AB\ne BA</math>。先拉伸再剪切与先剪切再拉伸不是同一变换。即使两个乘积都能计算，也不能默认相等；有时反过来的乘积甚至没有定义。

== 可逆性、秩与信息损失 ==
方阵 <math>A</math> 若存在 <math>A^{-1}</math> 使 <math>A^{-1}A=AA^{-1}=I</math>，称为可逆。上例的逆矩阵为 <math>\begin{pmatrix}1&-1\\0&1\end{pmatrix}</math>，能把剪切还原。

矩阵的秩是列向量张成空间的维数，也等于行秩。例如 <math>C=\begin{pmatrix}1&2\\2&4\end{pmatrix}</math> 的第二列是第一列的两倍，秩为 1。它把平面压缩到一条直线，不同输入可能得到相同输出，所以没有逆矩阵。

对 <math>2\times2</math> 矩阵，行列式为 <math>ad-bc</math>。实二维情形下，其绝对值给出面积缩放倍数，符号记录定向是否翻转。上例剪切的行列式为 1，所以保面积；<math>C</math> 的行列式为 0，面积被压为零。只有方阵才有通常意义下的行列式与双侧逆矩阵。

== 从方程组到数据 ==
方程组可以写成 <math>Ax=b</math>，但实际数值求解通常直接采用消元或矩阵分解，不必先显式计算逆矩阵。矩阵还用于图的邻接关系、坐标变换、最小二乘拟合等；若仅把表格存成矩阵，仍需解释每一行、每一列与单位代表什么。

== 延伸阅读 ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-06-linear-algebra-spring-2010/ MIT OpenCourseWare，18.06 Linear Algebra]：矩阵运算、列空间与线性方程组。
* [[线性代数]] · [[向量空间]] · [[图论]]
[[分类:代数]]