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群是由一个集合和该集合上的二元运算组成的代数结构，其运算满足结合律，具有单位元，而且每个元素都有逆元。群把整数加法、几何对称和可逆变换中共同的规律抽取出来。

== 四项条件 ==
设运算写作 <math>\circ</math>。集合 <math>G</math> 构成群，需要满足：
# 封闭性：<math>a,b\in G</math> 时，<math>a\circ b\in G</math>。
# 结合律：<math>(a\circ b)\circ c=a\circ(b\circ c)</math>。
# 单位元：存在 <math>e\in G</math>，使 <math>e\circ a=a\circ e=a</math>。
# 逆元：每个 <math>a\in G</math> 都存在 <math>a^{-1}\in G</math>，使 <math>a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e</math>。
运算若还满足 <math>a\circ b=b\circ a</math>，称为阿贝尔群。交换律不是一般群的定义要求。

例如整数在加法下构成群：单位元是 0，<math>n</math> 的逆元是 <math>-n</math>。正整数在加法下不是群；即使把 0 加入，正整数仍缺少加法逆元。非零实数在乘法下构成群，若把 0 加入则失败，因为 0 没有乘法逆元。

== 正方形的四种旋转 ==
令 <math>r</math> 表示绕正方形中心逆时针旋转 90 度。保持正方形的旋转组成
<math display="block">C_4=\{e,r,r^2,r^3\},\qquad r^4=e.</math>
这里运算是旋转的复合，<math>r^3</math> 是 <math>r</math> 的逆元。可以用整数模 4 的加法记录旋转次数：<math>3+2\equiv1\pmod4</math>，表示转 270 度再转 180 度，效果与转 90 度相同。

[[File:Gezhi-group-rotation.svg|frame|center|alt=正方形在零度、九十度、一百八十度、二百七十度旋转下的四种状态，用有色顶点跟踪位置|四次四分之一圈旋转回到初始状态。有色顶点只是跟踪标记，正方形本身的对称形状保持不变。]]

== 加入反射以后不再交换 ==
令 <math>s(x,y)=(x,-y)</math> 表示关于横轴反射，而 <math>r(x,y)=(-y,x)</math>。约定 <math>rs</math> 表示先做 <math>s</math> 再做 <math>r</math>。作用于 <math>(1,0)</math> 时，
<math display="block">rs(1,0)=(0,1),\qquad sr(1,0)=(0,-1).</math>
所以 <math>rs\ne sr</math>。正方形的全部旋转与反射构成有 8 个元素的二面体群。不同教材对二面体群下标的记法可能不同，说明元素个数比只写符号更清楚。

== 逆元为什么唯一 ==
若 <math>b</math> 和 <math>c</math> 都是 <math>a</math> 的逆元，利用结合律可得
<math display="block">b=b\circ e=b\circ(a\circ c)=(b\circ a)\circ c=e\circ c=c.</math>
因此逆元唯一。类似地，可在等式两边同侧乘以逆元消去相同因子，但不能未经理由交换乘法次序。

== 子群与保持结构的映射 ==
群中一个子集若在原运算下也构成群，称为子群。例如 <math>\{e,r^2\}</math> 是 <math>C_4</math> 的子群，而 <math>\{e,r\}</math> 不是，因为 <math>r\circ r=r^2</math> 不在其中。

若映射 <math>\varphi:G\to H</math> 满足 <math>\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)</math>，称为群同态；若它还是双射，称为同构。同构说明两个系统的元素名字不同，但运算结构相同。模 4 加法与正方形旋转群就是一例。非零复数乘法、可逆矩阵及空间对称都可以从这个角度研究。

== 延伸阅读 ==
* [https://judsonbooks.org/ Thomas W. Judson，《Abstract Algebra: Theory and Applications》]：群、循环群与置换群。
* [[矩阵]] · [[欧拉公式]] · [[环面]]
[[分类:代数]]