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概率是对随机事件赋予数值的一套数学规则，用来描述在给定模型下事件发生的不确定性。事件的概率介于 0 与 1 之间。概率值来自对样本空间及其分布的建模，不能仅凭“可能发生”就认定各结果等可能。

== 样本空间、事件与三条公理 ==
样本空间 <math>\Omega</math> 是所有可能结果的集合，事件是其中可赋予概率的子集。在一般概率论中，这些事件组成一个 σ 代数；有限样本空间通常取全部子集作为事件。

概率函数 <math>P</math> 满足非负性、<math>P(\Omega)=1</math>，以及对两两互斥事件的可列可加性：
<math display="block">P\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\right)=\sum_{n=1}^{\infty}P(A_n).</math>
由此可推出补事件公式 <math>P(A^c)=1-P(A)</math>，以及加法公式
<math display="block">P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).</math>
最后一项用于扣除重复计数的交集。

== 两枚骰子为什么有 36 种等可能结果 ==
假设两枚公平六面骰独立投掷，用有序对 <math>(i,j)</math> 记录结果。共有 <math>6\times6=36</math> 个等可能结果，而不是把和为 2 到 12 的 11 个数看成等可能。

[[File:Gezhi-probability-dice.svg|frame|center|alt=六乘六的骰子结果网格，反对角线的六个格子标出两数之和为七的结果|有序对等可能，但它们的和不等可能；和为 7 有 6 种结果，和为 2 只有一种。]]
和为 7 的结果为 <math>(1,6),(2,5),\ldots,(6,1)</math>，故概率为 <math>6/36=1/6</math>。至少一枚为 6 的概率则为
<math display="block">\frac16+\frac16-\frac1{36}=\frac{11}{36}.</math>
减去的 <math>1/36</math> 是两枚都为 6 的情形。也可以取补事件：<math>1-(5/6)^2=11/36</math>。

== 条件概率：已知信息改变了范围 ==
当 <math>P(B)>0</math> 时，定义
<math display="block">P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}.</math>
假设已知第一枚骰子为 6，此时两枚之和为 7 的概率是 <math>1/6</math>；如果已知至少一枚为 6，则剩余 11 个等可能结果中只有 <math>(1,6)</math>、<math>(6,1)</math> 的和为 7，概率变为 <math>2/11</math>。信息的措辞决定条件事件，不能省略。

== 独立与互斥是不同概念 ==
事件独立意味着 <math>P(A\cap B)=P(A)P(B)</math>；互斥意味着 <math>A\cap B=\varnothing</math>。两个概率都为正的互斥事件不独立，因为其中一个发生就排除了另一个。

单枚骰子的“结果为偶数”与“结果为 6”并不独立；两枚独立骰子各自“为偶数”的事件则独立。独立性是模型条件，需要由过程或数据支持，不能把乘法当作默认规则。

== 概率、频率与概率为零 ==
重复独立且同分布的试验中，大数定律说明事件频率会以适当的概率意义接近其概率。它不保证短期结果均衡，也不意味着前面连续出现某结果后，下一次必须“补偿”。

连续分布还存在概率为零但并非空集的事件。例如在 <math>[0,1]</math> 均匀取数，恰好取到 <math>1/2</math> 的概率为零。连续模型使用区间概率与密度，不能把“每个点概率为零”理解为“没有任何值能出现”。

== 延伸阅读 ==
* [https://ocw.mit.edu/courses/18-05-introduction-to-probability-and-statistics-spring-2022/pages/classes-reading-and-in-class-materials/ MIT OpenCourseWare，18.05 阅读材料]：样本空间、条件概率与独立性。
* [[组合数学]] · [[期望]] · [[贝叶斯定理]]
[[分类:概率与统计]]