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'''2020年国赛B题：穿越沙漠'''是2020年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的B题。玩家携带资金、水和食物，在限定天数内通过相邻区域到达终点，途中可以在矿山工作或在村庄补给，目标是在成功抵达的情况下保留尽可能多的资金。

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== 地图、时间与资源规则 ==

游戏从第0天的起点开始。玩家必须在截止日期前到达终点，一旦到达，游戏立即结束。每天可以停留原地，或移动到一个相邻区域；两个区域须有共同边界才算相邻，仅在顶点接触不算。所有区域在同一天的天气相同，天气分晴朗、高温、沙暴三类，沙暴日只能停留。

水和食物均以'''整箱'''为最小单位，两类物资的总重量每天都不得超过负重上限。抵达终点前，只要任一种物资耗尽，玩家就失败。

每天的水、食物基础消耗量由天气决定。停留一天按基础消耗量扣除；行走一天按基础消耗量的'''2倍'''扣除。矿山工作另有以下规则。

* 在矿山挖矿一天获得规定的基础收益，同时消耗水和食物各自基础量的'''3倍'''。
* 到达矿山当天不能挖矿；沙暴日可以在矿山挖矿。
* 留在矿山但不挖矿，仍按普通停留的基础消耗量扣除。

第0天可按基准价格在起点购买物资。玩家可以留在或返回起点，但不能在起点多次购买。经过或停留在村庄时，可以用手头资金或挖矿所得购买物资，单人情形的价格为基准价的'''2倍'''。到终点后，剩余物资按基准价的'''一半'''退回资金。

== 六个关卡的共同参数 ==

所有关卡的负重上限都是'''1200 kg'''，初始资金都是'''10000元'''。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="水和食物的重量与基准价" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 物资 !! 每箱重量（kg） !! 基准价格（元/箱）
|-
| 水 || 3 || 5
|-
| 食物 || 2 || 10
|}
</div>

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="六关的基础资源消耗" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 适用关卡 !! 物资 !! 晴朗（箱/天） !! 高温（箱/天） !! 沙暴（箱/天）
|-
| 第1、2关 || 水 || 5 || 8 || 10
|-
| 第1、2关 || 食物 || 7 || 6 || 10
|-
| 第3—6关 || 水 || 3 || 9 || 10
|-
| 第3—6关 || 食物 || 4 || 9 || 10
|}
</div>

以下列出各关截止时间、矿山收益和地图关键位置。区域间的完整相邻关系由附件中的地图给出。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="六关地图与时间参数" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 关卡 !! 人数 !! 截止天数 !! 挖矿基础收益（元/天） !! 起点、终点 !! 矿山 !! 村庄
|-
| 1 || 1 || 30 || 1000 || 1、27 || 12 || 15
|-
| 2 || 1 || 30 || 1000 || 1、64 || 30、55 || 39、62
|-
| 3 || 1 || 10 || 200 || 1、13 || 9 || 无
|-
| 4 || 1 || 30 || 1000 || 1、25 || 18 || 14
|-
| 5 || 2 || 10 || 200 || 1、13 || 9 || 无
|-
| 6 || 3 || 30 || 1000 || 1、25 || 18 || 14
|}
</div>

第5关使用第3关的地图，第6关使用第4关的地图。

== 问题1：单人且预先知道全部天气 ==

只有一名玩家，出发前已知道整个游戏期间每天的天气。给出一般的最优策略，并分别完成第1关、第2关，将具体结果填写到<code>Result.xlsx</code>。

两关均采用以下30天天气顺序。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="第一第二关已知天气序列" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 日期 !! 按日期先后排列的天气
|-
| 第1—10天 || 高温、高温、晴朗、沙暴、晴朗、高温、沙暴、晴朗、高温、高温
|-
| 第11—20天 || 沙暴、高温、晴朗、高温、高温、高温、沙暴、沙暴、高温、高温
|-
| 第21—30天 || 晴朗、晴朗、高温、晴朗、沙暴、高温、晴朗、晴朗、高温、高温
|}
</div>

== 问题2：单人且只知道当天天气 ==

仍只有一名玩家，但只能在当天知道当天天气，并据此决定当天行动。讨论这种信息条件下的一般最佳策略，并完成第3关、第4关。

第3关已知10天内不会发生沙暴；第4关只给出30天中沙暴出现较少这一信息。题目没有为这些天气给出具体概率。

== 问题3：多名玩家同时行动 ==

有<math>n</math>名玩家，以相同初始资金同时从起点出发。多人行动会改变部分消耗、收益与价格。对<math>2\le k\le n</math>，规则如下。

* 若同一天有<math>k</math>名玩家从区域A走向区域B，且<math>A\ne B</math>，这些玩家各自的物资消耗为基础量的<math>2k</math>倍。这里按同一方向的A到B计数。
* 若同一天有<math>k</math>人在同一矿山挖矿，每人的消耗仍为基础量的'''3倍'''，但每人的收益降为基础收益的<math>1/k</math>。
* 若同一天有<math>k</math>人在同一村庄购买物资，购买价格为基准价的'''4倍'''。
* 其他条件沿用单人规则。

本问分两种情形：

# 所有天气在出发前已知，每位玩家必须在第0天确定整个游戏的行动方案，之后不能更改。讨论第5关的最佳策略。第5关共有2名玩家，第1—10天天气依次为'''晴朗、高温、晴朗、晴朗、晴朗、晴朗、高温、高温、高温、高温'''。
# 玩家只知道当天天气。从第1天开始，每天结束时都能知道其他玩家当天的行动和剩余资源，再据此确定下一天的行动方案。讨论第6关。此关共有3名玩家，30天中沙暴出现较少。

== 结果填写时点 ==

结果表中的剩余资金、水和食物，均指当天全部活动和消耗结束后的数值；若当天购买物资，也应计入购买完成后的变化。

== 附件与来源 ==

[https://www.mcm.edu.cn/upload_cn/node/585/05k6B8WT92d3955f5c5e95dd086e59163e5f584b.rar 下载2020年国赛官方题目与附件包]，使用其中的<code>B/</code>目录。原题文件为<code>B/2020B-穿越沙漠.docx</code>。

来源：[https://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/10405905647c52abfd6377c0311632b5.html 全国大学生数学建模竞赛2020年赛题发布页]。核对日期：2026年9月22日。

[[分类:国赛赛题]]