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微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述一个量与其变化率之间的关系。只含一个自变量的称为常微分方程，涉及多个自变量及偏导数的称为偏微分方程。求解时需要找函数，而不仅是一个数。

== 方程、阶数与初始条件 ==
方程中出现的最高阶导数决定阶数。例如 <math>y'=ky</math> 是一阶方程，<math>y''+\omega^2y=0</math> 是二阶方程。未知函数及其导数以一次形式出现、且彼此不相乘的方程称为线性方程；系数可以依赖自变量。

<math>y'=ky</math> 的解为 <math>y(t)=Ce^{kt}</math>，常数 <math>C</math> 需要由初始值决定。给定 <math>y(0)=y_0</math> 后，得到 <math>y(t)=y_0e^{kt}</math>。方程描述演化规律，初始条件说明从哪里开始。

== 一个可验证的冷却模型 ==
在环境温度恒为 <math>T_a</math>、冷却系数 <math>k>0</math> 近似恒定的模型中，牛顿冷却定律写为
<math display="block">\frac{dT}{dt}=-k(T-T_a),\qquad T(0)=T_0.</math>
令 <math>u=T-T_a</math>，就得到 <math>u'=-ku</math>，因此
<math display="block">T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}.</math>
代回去可直接检验：导数为 <math>-k(T_0-T_a)e^{-kt}</math>，正好等于右端，且 <math>t=0</math> 时恢复初始值。

[[File:Gezhi-ode-cooling.svg|frame|center|alt=温度从八十摄氏度指数下降，逐渐接近二十摄氏度的环境温度，欧拉法的离散点也画在图中|解析解逼近环境温度；步长 1 分钟的显式欧拉近似略低于解析曲线。]]
取教学参数 <math>T_a=20</math> 摄氏度、<math>T_0=80</math> 摄氏度、<math>k=0.2</math> 每分钟，则 5 分钟后
<math display="block">T(5)=20+60e^{-1}\approx42.07</math>
摄氏度。该理想模型只在 <math>t\to\infty</math> 时达到环境温度，有限时间内始终留有温差；实际测量分辨率会使温差看起来已消失。

== 分离变量时不能丢失平衡解 ==
对 <math>u'=-ku</math>，若 <math>u\ne0</math>，可分离为 <math>du/u=-k\,dt</math>，积分得到指数解。但除以 <math>u</math> 时暂时排除了 <math>u=0</math>；必须单独检查，它正对应 <math>T(t)\equiv T_a</math> 的平衡解。

更一般地，分离变量只适用于可写成 <math>y'=g(t)h(y)</math> 的方程，并应检查被除去因子的零点，而不是把每个一阶方程都强行分离。

== 初值是否总能确定唯一解 ==
对 <math>y'=f(t,y)</math>，一个常用的局部存在唯一性充分条件是：初始点附近 <math>f</math> 连续，且对 <math>y</math> 局部 Lipschitz 连续。不能仅凭“给了一个初始值”就保证唯一。

例如在 <math>t\ge0</math> 上，方程 <math>y'=2\sqrt{|y|}</math>、<math>y(0)=0</math> 既有零解，也有先保持为零、到任意时刻 <math>c\ge0</math> 才开始取 <math>y(t)=(t-c)^2</math> 的解。右端在零附近不满足上述 Lipschitz 条件。

== 没有简单公式时采用数值法 ==
显式欧拉法以步长 <math>h</math> 迭代
<math display="block">y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),\qquad t_{n+1}=t_n+h.</math>
冷却例中取 <math>h=1</math> 分钟，第一步得 <math>T_1=80-0.2(80-20)=68</math>，解析值约为 69.12。该方法用局部切线代替真实曲线，误差会累积。

稳定性也限制步长。对温差方程，欧拉迭代为 <math>u_{n+1}=(1-kh)u_n</math>，要让误差随时间衰减需 <math>|1-kh|<1</math>，即 <math>0<kh<2</math>。收敛、稳定与精度是不同问题；实际使用还应做步长细化比较，并检查模型参数和单位。

== 延伸阅读 ==
* [https://www.jirka.org/diffyqs/html/fo_chapter.html Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》第 1 章]：分离变量、线性方程、存在唯一性与数值方法。
* [[导数]] · [[积分]] · [[欧拉公式]] · [[数学建模]]
[[分类:应用与建模]]