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数学建模是把现实问题中的对象、假设和关系转化成数学表示，并利用数据、计算或推理检验其解释与预测能力的过程。模型是为特定用途保留部分特征的近似，不是现实本身；同一问题可以有多种模型。

== 从问题到可以检验的结果 ==
一个完整建模过程需要明确目标，定义变量与单位，提出假设，选择结构和参数，求解，最后用未参与拟合的信息检查结果。若验证失败，应返回假设、数据或模型结构，而不是只重复优化参数。

常见模型包括基于守恒规律的[[微分方程]]、描述随机性的[[概率]]模型、表示关系的[[图论]]模型，以及分配资源的[[优化]]模型。选择取决于研究问题、可获得的数据和允许的误差。

== 示例：用一条直线描述水位变化 ==
下面使用专门构造的教学数据，演示如何拟合某水箱短时间内的水位趋势。它不是实际观测数据，也不代表某台设备的实验结论。

{| class="wikitable"
! 变量 !! 含义 !! 单位
|-
| <math>t</math> || 从观察开始计时的时间 || 分钟
|-
| <math>h</math> || 水位 || 厘米
|-
| <math>a</math> || 模型中的平均上升速率 || 厘米／分钟
|-
| <math>b</math> || 模型在时间零的水位 || 厘米
|}
假设在考察时段内流入速率和水箱截面积近似不变，用 <math>\hat h(t)=at+b</math> 作为平均趋势，测量偏差或未建模变化记入残差。数据分为训练集和留出验证集：

{| class="wikitable"
! 用途 !! 时间 t（分钟） !! 水位 h（厘米）
|-
| 拟合 || 0，1，2，3 || 1.0，2.0，2.0，4.0
|-
| 留出验证 || 4，5 || 4.6，5.8
|}
这里只用前四点估计参数，后两点用于模拟未来时段的检验，不能先用后两点调参再声称它们是独立验证。

== 用最小二乘确定参数 ==
选择平方误差目标
<math display="block">S(a,b)=\sum_{i=1}^{4}(h_i-at_i-b)^2.</math>
当时间点不全相同时，求偏导并令其为零，得到
<math display="block">a=\frac{\sum_i(t_i-\bar t)(h_i-\bar h)}{\sum_i(t_i-\bar t)^2},\qquad b=\bar h-a\bar t.</math>
本例 <math>\bar t=1.5</math>、<math>\bar h=2.25</math>，分子为 4.5，分母为 5，所以
<math display="block">a=0.9,\qquad b=0.9,\qquad\hat h(t)=0.9t+0.9.</math>
平方损失会更重地惩罚大偏差，也容易受异常值影响；采用它是模型选择的一部分。求最小二乘解本身不要求噪声服从正态分布，但进一步给出统计置信区间时需要额外的误差假设。

[[File:Gezhi-model-linear-fit.svg|frame|center|alt=四个训练点和两个留出验证点，直线水位等于零点九倍时间加零点九，竖线表示训练残差|拟合线没有穿过所有点。训练点用于估计参数，空心方形表示未参与拟合的后续时刻数据。]]

== 检查残差与留出误差 ==
训练点的预测值为 <math>0.9,1.8,2.7,3.6</math>，残差采用“观测减预测”的约定，为 <math>0.1,0.2,-0.7,0.4</math>。残差平方和为 0.7，训练均方根误差为
<math display="block">\operatorname{RMSE}_{\mathrm{train}}=\sqrt{0.7/4}\approx0.4183\ \text{厘米}.</math>
留出点的预测为 <math>4.5,5.4</math>，残差为 <math>0.1,0.4</math>，留出 RMSE 约为 <math>\sqrt{0.17/2}=0.2915</math> 厘米。留出误差偶然低于训练误差并不矛盾；只有两个验证点，也不足以证明模型可以长期准确预测。

除了平均误差，还应观察残差是否持续同号、是否随时间增大，以及异常点是否对应记录问题。若水箱将满、流量改变或截面积随高度变化，线性假设可能失效。拟合线继续外推到任意时刻没有依据。

== 下载与复现 ==
[https://gezhi.wiki/page/%E7%89%B9%E6%AE%8A:ModelDownload/eb0be8742d04021d7851aa4bb9e63a54 下载：水位线性拟合教学包（CSV、Python、预期结果与说明）]
资源包含原始示例 CSV、只依赖 Python 标准库的拟合脚本、预期结果和数据说明。解压后在目录内运行 <code>python3 fit.py</code>，脚本会重新计算参数、训练及留出误差，不调用外部 AI 或在线服务。

== 模型与内容的可追溯性 ==
模型发布时应保留数据来源、变量单位、假设、求解方法、验证划分、代码环境和适用范围。使用 AI 辅助整理或计算，仍需逐式核验、检查数据授权与复现结果；语言流畅不能替代实证证据。实际项目若出现新数据，应记录更新版本，而不是悄悄替换数据后沿用旧结论。

== 延伸阅读 ==
* [https://stanford.edu/~boyd/cvxbook/ Boyd、Vandenberghe，《Convex Optimization》]：最小二乘与优化建模。
* [https://www.jirka.org/diffyqs/ Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》]：从应用问题建立微分方程模型。
* [[线性代数]] · [[优化]] · [[微分方程]] · [[贝叶斯定理]]
[[分类:应用与建模]]