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'''介值定理'''（intermediate value theorem）说的是：若 <math>f</math> 在闭区间 <math>[a,b]</math> 连续，任何位于 <math>f(a)</math> 与 <math>f(b)</math> 之间的数 <math>u</math>，都至少是某个 <math>c\in[a,b]</math> 的函数值。若 <math>u</math> 严格夹在两个不同的端点值之间，则 <math>c</math> 可取在开区间 <math>(a,b)</math>。它保证存在，不保证只有一个。

== 从异号到一个根 ==
考虑 <math>f(x)=x^3-x-1</math>。计算得 <math>f(1)=-1</math>、<math>f(2)=5</math>。多项式连续，故在 1 与 2 之间必有 <math>f(c)=0</math>。若把中点 1.5 代入，得 <math>f(1.5)=0.875>0</math>，根缩进 <math>(1,1.5)</math>；再取 1.25，得 <math>f(1.25)=-0.296875</math>，根缩进 <math>(1.25,1.5)</math>。每一步只用符号变化和连续性，正是[[二分法]]能够一直保留根的理由。

[[File:Gezhi-calculus-ivt.svg|frame|center|alt=连续三次函数在一处函数值为负另一处为正，两端之间与零水平线相交|曲线穿过零水平线的位置是介值定理保证的根；二分法通过保留异号端点逐步定位它。]]

== 存在性的构造 ==
设 <math>f(a)<u<f(b)</math>，并令 <math>S=\{x\in[a,b]:f(x)<u\}</math>。集合非空且有上界，由[[上确界原理]]取 <math>c=\sup S</math>。如果 <math>f(c)<u</math>，连续性使 <math>c</math> 右边足够近的点仍有函数值小于 <math>u</math>，这与 <math>c</math> 为上界矛盾。如果 <math>f(c)>u</math>，连续性使 <math>c</math> 左边足够近的点都大于 <math>u</math>，又与有 <math>S</math> 中的点任意接近其上确界矛盾。所以 <math>f(c)=u</math>。论证真正用到两件事：实数有上确界，以及连续性把点上的严格不等式延伸到邻域。

图像跨过水平线并不能代替这两个条件。阶跃函数 <math>h(x)=0</math>（<math>x<0</math>）、<math>h(x)=1</math>（<math>x\ge0</math>）的端点值可以分别为 0 与 1，却永远不取 <math>1/2</math>。反过来，即使函数连续，端点同号也不能据此断定内部没有零点，例如 <math>x^2-1</math> 在 <math>[-2,2]</math> 两端均为正，内部有两个根。存在性与唯一性是不同问题；上面的三次函数还需分析导数才能确认根的个数。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/2-4-continuity OpenStax《Calculus Volume 1》§2.4]：介值定理的陈述与例子。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-9-newtons-method 同书 §4.9]：数值求根与起点选择。
[[分类:分析]]
[[分类:微积分]]