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圆在点 <math>A</math> 的切线与过 <math>A</math> 的弦 <math>AB</math> 所夹的角，等于弦 <math>AB</math> 在'''另一侧圆弧'''所对的圆周角 <math>\angle ACB</math>。这通常称'''切线与弦定理'''或弦切角定理；读图时须同时标明切线取哪条射线、圆周角顶点 <math>C</math> 位于哪段弧上。

== 由半径垂直切线推得 ==
设 <math>O</math> 为圆心，切线在 <math>A</math> 处与半径 <math>OA</math> 垂直。若小圆心角 <math>\angle AOB=2\theta</math>，等腰三角形 <math>OAB</math> 的底角各为 <math>90^\circ-\theta</math>。取与弦 <math>AB</math> 组成小于 <math>90^\circ</math> 弦切角的那条切线射线，其与 <math>AB</math> 的角为
<math display="block">90^\circ-(90^\circ-\theta)=\theta.</math>
另一侧圆弧上的圆周角也为 <math>\theta</math>，因为[[圆周角定理]]给出同弧圆周角等于圆心角一半。其他角的位置可用补角关系得到。

例如圆心角为 <math>80^\circ</math> 时，三角形 <math>OAB</math> 的两个底角各 <math>50^\circ</math>，相应的弦切角为 <math>40^\circ</math>；另一侧圆周角也为 <math>40^\circ</math>。若将顶点 <math>C</math> 放到弦的另一侧，所对的是另一段弧，角会变成 <math>140^\circ</math>，不应还填 40 度。

下图另取圆心角 <math>\angle AOB=120^\circ</math>。在切点 <math>A</math> 向上的切线射线与弦 <math>AB</math> 夹 60 度；位于大弧 <math>AB</math> 上的点 <math>C</math> 也看见同一条小弧，形成 <math>\angle ACB=60^\circ</math>。两处 60 度的对应必须连同弧的位置一并读。

[[File:Gezhi-add100-tangent-chord.svg|frame|center|alt=圆右侧A点的竖直切线t与弦AB形成六十度角，圆左下方C点的圆周角ACB也是六十度|弦AB对应的小弧在C的另一侧；弦切角等于该圆周角。]]

== 参考资料 ==
* [https://mathcs.clarku.edu/~DJoyce/java/elements/bookIII/propIII32.html David Joyce 编《几何原本》III.32]。
* [https://www.siyavula.com/downloads/books/maths/Gr11_Mathematics_Learner_Eng.pdf Siyavula《Mathematics Grade 11》：切线与弦定理]。
* 继续阅读：[[圆周角定理]]、[[圆与弧度]]、[[外接圆与外心]]。
[[分类:几何]]
[[分类:圆几何]]