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'''基本初等函数的导数'''给出幂、指数、对数和三角函数在定义域内的瞬时变化率。先从[[导数]]中的极限定义出发，算出一批基础函数，再用[[导数运算法则]]和[[链式法则]]组合它们。下表的自变量为实数，三角函数的角用'''弧度'''；表中每条公式都只在函数可导的点使用。窄屏上可横向滑动表格，查看右侧的适用条件。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="常用基本函数的导数" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 函数 <math>f(x)</math> !! 导数 <math>f'(x)</math> !! 条件
|-
| <math>c</math>（常数） || <math>0</math> || 任意 <math>x</math>
|-
| <math>x^m</math> || <math>mx^{m-1}</math> || 整数 <math>m\ge1</math> 时任意 <math>x</math>；负整数幂排除 <math>x=0</math>
|-
| <math>e^x</math> || <math>e^x</math> || 任意 <math>x</math>
|-
| <math>a^x</math> || <math>a^x\ln a</math> || <math>a>0,\ a\ne1</math>
|-
| <math>\ln x</math> || <math>1/x</math> || <math>x>0</math>
|-
| <math>\log_a x</math> || <math>1/(x\ln a)</math> || <math>x>0,\ a>0,\ a\ne1</math>
|-
| <math>\sin x</math> || <math>\cos x</math> || 任意 <math>x</math>，弧度制
|-
| <math>\cos x</math> || <math>-\sin x</math> || 任意 <math>x</math>，弧度制
|}
</div>

== 幂函数的导数从哪里来 ==
直接用定义算 <math>f(x)=x^2</math>。输入增加 <math>h</math> 时，
<math display="block">\frac{(x+h)^2-x^2}{h}=2x+h\quad(h\ne0).</math>
让 <math>h\to0</math>，得到 <math>(x^2)'=2x</math>。几何上，在横坐标 <math>x=3</math> 处，切线斜率是 6；从 3 增加 0.01，函数值的变化约为 <math>6\cdot0.01=0.06</math>，精确变化 <math>3.01^2-3^2=0.0601</math>，多出的 <math>0.0001</math> 来自 <math>h^2</math>。

由乘积法则可逐次推出 <math>(x^m)'=mx^{m-1}</math>（正整数 <math>m</math>）。例如已知 <math>(x^m)'=mx^{m-1}</math>，则 <math>(x^{m+1})'=x^m+x\cdot mx^{m-1}=(m+1)x^m</math>。负整数幂由倒数法则得到，例如 <math>(1/x)'=-1/x^2</math>，但 <math>x=0</math> 原函数无定义，谈不上那里有导数。分数幂需要先说明实数定义域；例如 <math>(\sqrt{x})'=1/(2\sqrt{x})</math> 只在 <math>x>0</math> 成立，<math>x=0</math> 没有有限导数。

== 指数和对数 ==
自然指数 <math>e^x</math> 的底数 <math>e</math> 由极限选择，使它的导数仍为自己。一般底数可写成 <math>a^x=e^{x\ln a}</math>，用链式法则得到 <math>(a^x)'=a^x\ln a</math>。于是 <math>2^x</math> 在零点的斜率不是 1，而是 <math>\ln2</math>；底数越大，在零点的相对增长率也越大。

对 <math>x>0</math>，<math>\ln x</math> 是 <math>e^x</math> 的反函数。设 <math>y=\ln x</math>，则 <math>e^y=x</math>；两边对 <math>x</math> 求导，<math>e^y y'=1</math>，故 <math>y'=1/e^y=1/x</math>。改换底数 <math>\log_a x=\ln x/\ln a</math>，便得到表中的式子。这里的对数真数必须为正。

== 正弦、余弦与弧度 ==
由和角公式，
<math display="block">\frac{\sin(x+h)-\sin x}{h}
=\sin x\,\frac{\cos h-1}{h}+\cos x\,\frac{\sin h}{h}.</math>
在弧度制中，<math>\sin h/h\to1</math>，而 <math>(\cos h-1)/h\to0</math>，所以 <math>(\sin x)'=\cos x</math>。同理 <math>(\cos x)'=-\sin x</math>。若输入改成角度数值，导数还要乘上 <math>\pi/180</math>；不说明单位便直接套用正弦求导式会得到错误的变化率。

算一个组合例子：<math>g(x)=2e^x-3x^2+\sin x</math>，由常数倍与和的法则，
<math display="block">g'(x)=2e^x-6x+\cos x.</math>
在 <math>x=0</math>，有 <math>g'(0)=3</math>。若改成 <math>h(x)=\sin(2x)</math>，还要乘内层导数 2，得到 <math>h'(x)=2\cos(2x)</math>。基础公式只解决“单层函数”，嵌套须沿链式法则多走一步。

'''试算。'''对 <math>p(x)=x^3+4\ln x</math>（<math>x>0</math>），有 <math>p'(x)=3x^2+4/x</math>，所以 <math>p'(1)=7</math>。<math>x=0</math> 不在原函数定义域内，不能把导数式代入零点。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-3-differentiation-rules OpenStax《Calculus Volume 1》§3.3]：幂与基本运算法则。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions 同书 §3.5]：三角函数求导与弧度条件。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-9-derivatives-of-exponential-and-logarithmic-functions 同书 §3.9]：指数与对数的导数。
[[分类:高中数学]]
[[分类:微积分]]