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__NOTOC__
路径是一种建议顺序，不是必须一次读完的课程。先完成一个小例子，再回到定义与证明；遇到陌生符号可查[[希腊字母发音表]]。

<div class="math-path"><h3>01　准确表达与证明</h3><p>先建立对象、映射和量词语言，再把这些工具用在整数结构上。</p>[[集合]] → [[函数]] → [[逻辑]] → [[整数整除]] → [[素数]] → [[同余]]</div>
<div class="math-path"><h3>02　理解变化与演化</h3><p>从误差控制到局部变化、累积，再走向动态规律与增长模型。</p>[[函数]] → [[极限]] → [[导数]] → [[积分]] → [[微积分]] → [[微分方程]] → [[一阶线性微分方程]] → [[洛吉斯蒂模型]]</div>
<div class="math-path"><h3>03　认识线性与对称</h3><p>从坐标运算走向不依赖坐标的结构，再进入抽象对称。</p>[[矩阵]] → [[向量空间]] → [[线性代数]] → [[群]] → [[欧拉公式]]</div>
<div class="math-path"><h3>04　从形状到空间</h3><p>几何性质关注长度角度，拓扑进一步研究连续性与整体连接。</p>[[欧氏几何]] → [[勾股定理]] → [[余弦定理]] → [[海伦公式]] → [[圆锥曲线]] → [[环面]] → [[拓扑空间]] → [[连续映射]]</div>
<div class="math-path"><h3>05　面对不确定性</h3><p>先明确等可能与计数条件，再区分平均、条件化和统计推断。</p>[[组合数学]] → [[概率]] → [[期望]] → [[贝叶斯定理]] → [[统计推断]]</div>
<div class="math-path"><h3>06　从网络到决策</h3><p>把关系写成图，再用算法和对偶证书说明方案为什么最好。</p>[[图论]] → [[最短路径]] → [[优化]] → [[线性规划]]</div>
<div class="math-path"><h3>07　把方程变成可靠计算</h3><p>从有保证的区间收缩，到局部快速迭代和积分近似，始终保留误差分析。</p>[[极限]] → [[二分法]] → [[导数]] → [[牛顿法]] → [[积分]] → [[数值积分]]</div>
<div class="math-path"><h3>08　从数据到可复现模型</h3><p>同时学习结构假设、参数拟合、单位检查和独立验证。</p>[[数学建模]] → [[最小二乘法]] → [[线性模型]] → [[量纲分析]] → [[统计推断]]</div>

<div class="math-path"><h3>09　把数据看清楚</h3><p>从一行记录的含义出发，按比较、构成、分布、关系和变化选择图形；重算图中数值，再讨论哪些结论需要更多证据。</p>[[统计图]] → [[条形图]]与[[扇形统计图]] → [[直方图]]与[[箱线图]] → [[散点图]]与[[折线图]] → [[统计推断]]</div>

<div class="math-path"><h3>10　给随机现象建立分布模型</h3><p>先分清单点质量、密度面积和累计概率。计数可沿二项到泊松学习，等待可比较几何、指数与均匀，测量及均值推断可比较正态与 t。</p>[[概率]] → [[概率分布]] → [[二项分布]]与[[几何分布]] → [[泊松分布]]与[[指数分布]] → [[均匀分布]]与[[正态分布]] → [[学生t分布]] → [[统计推断]]</div>

<div class="math-path"><h3>11　从一步更新到相互作用</h3><p>先手算水量的逐月变化，用平衡点和误差递推判断长期行为；再把两个物种的相互作用写成连续方程，比较时间曲线、相图与数值误差。</p>[[线性代数]] → [[差分方程模型]] → [[微分方程]] → [[洛吉斯蒂模型]] → [[捕食者-猎物模型]]</div>

<div class="math-path"><h3>12　从有限对象练习证明</h3><p>从后继和归纳建立自然数的规则，用余数分类寻找必然重复，再用非负平方证明向量内积的界。逐次指出归纳、计数和取最小值各自解决了哪一步。</p>[[逻辑]] → [[皮亚诺公理]] → [[组合数学]] → [[抽屉原理]] → [[向量空间]] → [[柯西不等式]]</div>

== 带着同一个问题往下学 ==

在“变化与演化”这条路上，可以始终追问一杯热水怎样冷却。[[导数]]描述某一时刻的降温速度；[[微分方程]]把速度与温差联系起来；[[一阶线性微分方程]]求出随时间变化的温度；[[数值积分]]则说明，在没有简单原函数时如何计算累积量。每向前一步，写下新增的假设和已经会求的量。

在“线性与模型”这条路上，先在[[矩阵]]中认识一组数怎样把输入变成输出，再到[[向量空间]]与[[线性代数]]理解哪些输出能达到。[[最小二乘法]]把这个问题改为：观测值达不到时，怎样找到最接近的输出？它与[[数学建模]]使用同一组水位数据；后者再用未参与拟合的数据检验模型。

在“不确定性”这条路上，从十次硬币投掷出发。[[组合数学]]数出各种次序，[[概率]]给这些结果分配权重，[[期望]]描述重复试验的平均结果。读到[[统计推断]]，再反过来问：只有投掷结果时，对未知概率能作出多强的判断？用交互图分别改变样本量和真实概率，检查自己的判断是否混淆了数据与假设。

在“形状与空间”这条路上，先用[[环面]]的粘边图追踪一条线越过边界后去了哪里，再在三维模型上找到同一条环路。接着读[[拓扑空间]]与[[连续映射]]，解释哪些变化保留连接方式、哪些结论仍需要证明。转动模型能帮助观察，不能替代对所有路径或所有开集的论证。
在“把数据看清楚”这条路上，先用[[统计图]]中的四十名参加者，比较“哪类人多”与“各类占多少”的区别。再记录每人的用时，思考[[直方图]]如何保留分布形状、[[箱线图]]又省略了哪些细节。需要研究路程与用时的关系时，先保留每个人的成对数据，再读[[散点图]]；观测同一对象随时间的变化时则读[[折线图]]。不要把类别、数值区间与时间顺序混为一谈。

在“分布模型”这条路上，先固定五次发送，计算成功次数，再改为一直发送到首次成功，观察变量为何从[[二项分布]]改成[[几何分布]]。对稳定到达的请求，同一个过程可用[[泊松分布]]描述次数，用[[指数分布]]描述等待。最后转向测量：[[正态分布]]中的总体标准差与[[学生t分布]]中用样本估计的标准差各承担什么角色？每次换模型，都把对象、单位和条件重新写一遍。

在“线性与模型”这条路的后半段，[[线性模型]]继续使用相同水位数据，区分平均响应的置信区间和新读数的预测区间。[[正态分布]]解释独立高斯误差怎样连接到平方误差，[[贝叶斯定理]]则用后验密度说明数据如何改变对未知参数的判断。先辨认自己要估计的是哪一个量，再决定怎样解释图与区间。

== 阅读时怎样检查自己理解了 ==
能用自己的话解释定义，并说明一个正例与反例；能重算一个完整算例，指出每一步用了什么前提；能区分定义、定理、模型假设与历史事实。遇到生疏符号可沿先修链接补充知识，再回到例题尝试独立完成下一步。

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