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'''微积分'''（calculus）研究变化率与累积量。[[导数]]从一条函数曲线求出局部变化率，[[积分]]把各小段的贡献相加；微积分基本定理说明，这两种运算为什么能够互相连接。

== 同一段运动，可以怎样计算 ==
设位置函数为 <math>s(t)=t^2+5</math>，位置以米计，时间 <math>t</math> 以秒计。1秒时位置为6米，3秒时为14米，位置变化为8米。这是直接比较端点得到的答案。

也可以先算速度。时间 <math>t</math> 到 <math>t+h</math> 的平均速度为
<math display="block">\frac{s(t+h)-s(t)}h=\frac{2th+h^2}h=2t+h.</math>
让非零间隔 <math>h</math> 趋于零，得到瞬时速度 <math>v(t)=2t</math>。若反过来只知道速度，怎样重新得到这段8米的变化？

把1至3秒等分为 <math>n</math> 段，每段长 <math>h=2/n</math>。第 <math>k</math> 段的左端时间为 <math>1+(k-1)h</math>，用该时刻速度估计这一段位移，总和是
<math display="block">\begin{aligned}
S_n&=\sum_{k=1}^n2(1+(k-1)h)h\\
&=2nh+2h^2\frac{n(n-1)}2=8-\frac4n.
\end{aligned}</math>
速度在增加，所以左端点低估；右端点和同理为 <math>8+4/n</math>。分段越来越细，两者都趋于8，正好等于位置的端点差。我们分别使用位置比较、差商、速度求和，最后得到相容的结果。

[[File:Gezhi-calculus-accumulation-theme.svg|frame|center|alt=左图速度2t的曲线下面积，右图相应的累计函数t平方|左图的高度为速度，面积表示累计位移；右图累计函数的斜率又给出原来的速度。]]

图右侧从0开始累计，画出的是 <math>t^2</math>；实际位置 <math>t^2+5</math> 在它上方5米。共同的速度只决定位置变化，初始位置决定这项常数。这正是下面基本定理所解释的两层关系。

== 基本定理第一部分：累积的变化率 ==
设 <math>f</math> 在有限闭区间 <math>[a,b]</math> 连续，定义
<math display="block">A(x)=\int_a^x f(t)\,dt.</math>
这里 <math>t</math> 是被积分的哑变量，<math>x</math> 是决定累计范围的上限。基本定理断言，对区间内部的每个 <math>x</math>，有 <math>A'(x)=f(x)</math>。

'''证明。''' 根据积分的区间可加性，增量 <math>A(x+h)-A(x)</math> 等于新加入的小区间上的积分。因此
<math display="block">\frac{A(x+h)-A(x)}h-f(x)=\frac1h\int_x^{x+h}(f(t)-f(x))\,dt.</math>
给定任意 <math>\varepsilon>0</math>，连续性保证存在一个邻域，其中 <math>|f(t)-f(x)|<\varepsilon</math>。当非零 <math>h</math> 足够小时，整个小区间都位于这个邻域内，无论 <math>h</math> 为正还是负，上式绝对值都不超过 <math>\varepsilon|h|/|h|=\varepsilon</math>。故差商趋于 <math>f(x)</math>，证毕。

在运动例子中，小区间内的速度都靠近当前速度，因此“位移增量除以时间增量”趋于当前速度。连续性保障了这个统一控制。标准陈述见 [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus OpenStax §5.3]。

== 基本定理第二部分：端点之差为何等于总积累 ==
仍设 <math>f</math> 连续，并设 <math>F</math> 在闭区间连续，在开区间内满足 <math>F'=f</math>。上一节构造的 <math>A</math> 满足相同导数，所以 <math>(F-A)'=0</math>。由中值定理，导数为零的函数在区间上为常数；于是
<math display="block">F(b)-A(b)=F(a)-A(a).</math>
又因为 <math>A(a)=0</math>，所以
<math display="block">\int_a^b f(t)\,dt=F(b)-F(a).</math>
这就是计算定积分常用的牛顿—莱布尼茨公式。对 <math>f(t)=2t</math>，原函数 <math>F(t)=t^2</math>，于是 <math>\int_1^3 2t\,dt=3^2-1^2=8</math>。前面矩形求和的结果现在可以通过端点相减直接取得。

不定积分写成 <math>F(x)+C</math> 是因为所有原函数相差一个常数；定积分中的常数在端点相减时消掉。若被积函数在区间内部存在奇点，不能直接用横跨奇点的端点差代替反常积分检查；相关反例见[[积分]]。

== 上限变化时，累积量怎样变化 ==
令 <math>G(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,dt</math>。被积函数连续，虽然它的原函数不能用通常有限个初等函数表达，累计函数仍然有意义。先设 <math>H(u)=\int_0^u e^{-t^2}\,dt</math>，由基本定理 <math>H'(u)=e^{-u^2}</math>，再对 <math>G(x)=H(x^2)</math> 使用链式法则，得到
<math display="block">G'(x)=2x e^{-x^4}.</math>
这项计算没有先找到闭式原函数。它说明“无法写出初等公式”与“无法研究函数”是不同判断。上限变化越快，累计范围变化也越快，链式法则中的 <math>2x</math> 正记录这一点。

== 给定流量，求水箱何时达到指定水量 ==
设一个理想水箱的净流入速率为 <math>q(t)=6-2t</math> 升每分钟，在 <math>0\le t\le3</math> 分钟内有效，初始存水为 4 升。由累计关系，
<math display="block">V(t)=4+\int_0^t(6-2u)\,du=4+6t-t^2.</math>
在模型时间范围内，流量非负，所以体积一直增加。求首次达到 12 升的时刻，解 <math>4+6t-t^2=12</math>，得到 <math>t=2</math> 或 <math>t=4</math>；后者超出指定区间，应剔除。2 分钟时流量仍为每分钟 2 升，累计进入了 8 升。

方程的两个根来自二次函数的对称性，但本题只规定了前三分钟的流量。也可检查 <math>V'(t)=6-2t=q(t)</math> 与 <math>V(0)=4</math>：导数恢复流量，常数恢复初始存水。

== 用变化率找到最大面积 ==
可导函数在一点附近满足 <math>f(a+h)=f(a)+f'(a)h+o(h)</math>。若还有更多连续导数，泰勒展开能继续保留二次、三次等项，并给出余项估计。一次近似把函数局部替换成直线；二次项则描述弯曲方向，并帮助分析驻点。

例如在固定周长为 20 的矩形中，边长为 <math>x</math> 与 <math>10-x</math>，面积为 <math>A(x)=x(10-x)</math>，定义域 <math>0\le x\le10</math>。导数 <math>A'(x)=10-2x</math> 在 5 为零，之前为正、之后为负，且端点面积为零，因此最大面积为 25，在正方形时取得。这是完整的最值判断，而不只是找到一个导数为零的点。

相比之下，<math>x^3</math> 在原点导数为零却没有局部极值。受约束问题还可能在边界取得最优值，多元问题也可能出现鞍点。微分提供候选位置与变化方向，[[优化]]进一步组织可行域、存在性及最优性条件。

== 用有限次计算近似积分 ==
数值积分用有限次函数取值逼近累积量。对 <math>\int_0^1x^2\,dx=1/3</math>，复合梯形法取 <math>n</math> 个等长区间，每段梯形面积是同段左、右矩形面积的平均。因此 <math>T_n=(L_n+U_n)/2</math>。将[[积分]]中平方函数的两个和式相加，一次误差项相消，留下
<math display="block">T_n=\frac13+\frac1{6n^2}.</math>
因此一步为 <math>1/2</math>，两步为 <math>3/8</math>，四步为 <math>11/32</math>；它们都高估，步数加倍使误差缩小到四分之一。这里不仅有“越来越接近”的观察，还有本例的精确误差公式。

数值微分的处境不同。前向差分在光滑函数上有随步长减小的截断误差，但数据噪声在相除时可能被放大。若两个函数值各含不超过 <math>\eta</math> 的误差，差商中仅这部分误差就可能达到 <math>2\eta/|h|</math>。因此不断减小 <math>h</math> 并不保证结果越来越准；选择步长需要兼顾误差来源。

[[数值积分]]、[[牛顿法]]和微分方程数值解都属于把连续理论转为有限计算的路线。计算机给出的有限数字需要与误差、稳定性和输入假设一起阅读，不能只凭输出小数位数判断可信度。

== 两端都在变化的积分 ==
基本定理不只处理固定下限。若 <math>f</math> 连续，而上下限 <math>a(x),b(x)</math> 都可导，取一个固定参考点 <math>c</math>，将积分改写为 <math>\int_c^{b(x)}f-\int_c^{a(x)}f</math>，分别使用基本定理和链式法则，便得到
<math display="block">\frac d{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(t)\,dt=f(b(x))b'(x)-f(a(x))a'(x).</math>
右侧第一项记录上端移动加入的量，第二项记录下端移动移走的量。比如 <math>H(x)=\int_x^{2x}t^2\,dt</math>，求导为 <math>(2x)^2\cdot2-x^2=7x^2</math>；直接先积分得到 <math>H(x)=7x^3/3</math>，求导结果相同。两种计算相互核验，也说明不能只代入上限而漏掉其移动速度与下限贡献。

若被积函数本身还依赖参数，求导时又会多一项来自被积函数的变化。交换积分与求导需要对应的连续性或控制条件，不能把它当作所有参数积分自动具备的形式规则。多个极限过程之间的交换，是从基础微积分走向分析时需要继续学习的问题。

== 基本定理的连续性用在何处 ==
令速度在0之前为0，在0之后为1，零点也取1。取从0开始的累计函数，便有 <math>A(t)=0</math>（<math>t\le0</math>）与 <math>A(t)=t</math>（<math>t>0</math>）。它在0连续，但左斜率为0、右斜率为1，所以该处导数不存在。累计仍然有意义，瞬时恢复却在跳跃处失败；基本定理第一部分的连续性正是用来排除这种情况。

在连续流量模型中，储量变化率等于净输入速率，写作 <math>V'=q</math>；给定初值后，积分形式是 <math>V(t)=V(0)+\int_0^tq(u)\,du</math>。若净输入还依赖当前储量，例如流出量与水位有关，就得到以未知函数及其导数共同出现的[[微分方程]]。

== 历史：多条问题线索汇成一门学科 ==
微积分形成于切线、极值、求积和运动等问题的长期积累。牛顿在十七世纪六十年代发展流数方法，莱布尼茨在十七世纪七十年代形成自己的微分与积分方法及符号，随后发表相关成果；巴罗、费马等人的工作构成重要前史。相关年代与贡献见 [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus/ MacTutor：The rise of calculus]。

十八世纪的分析扩大了这些工具的适用范围，十九世纪的柯西、黎曼、魏尔斯特拉斯等人则从极限、积分与函数性质等方向推进基础与理论。这些工作逐步明确了计算规则适用于哪些函数、其极限为何存在。

== 来源与继续阅读 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/5-3-the-fundamental-theorem-of-calculus OpenStax，《Calculus Volume 1》§5.3]：基本定理。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/4-2-linear-approximations-and-differentials 同书 §4.2]：局部线性近似。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/3-6-numerical-integration OpenStax，《Calculus Volume 2》§3.6]：数值积分。
* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/The_rise_of_calculus/ MacTutor：The rise of calculus]：历史来源。
* 基础路线：[[极限]] → [[导数]]与[[积分]] → [[微分方程]]；计算路线：[[数值积分]]、[[牛顿法]]。
[[分类:分析]]