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'''第 <math>p</math> 百分位数'''要回答：从低到高累计，至少覆盖总体约 <math>p</math> 比例时达到什么数值。用样本估计它之前，必须同时说明排序规则和所采用的样本分位数约定；不同软件常用的插值方式不完全相同，数值可能略有差异。

== 一份小样本的逐步计算 ==
某教学样本的 9 次单程通勤分钟数从小到大为 <math>12,15,16,18,20,22,24,30,45</math>。采用经验分布函数的逆函数约定
<math display="block">\widehat Q(p)=\inf\{x:F_9(x)\ge p\},\qquad 0<p\le1.</math>
它在排序值中取第 <math>\lceil9p\rceil</math> 个。<math>p=0.75</math> 时 <math>\lceil6.75\rceil=7</math>，第七个值是 24，所以按此约定样本的 75% 分位数为 24 分钟；<math>p=0.5</math> 时取第五个值 20，为中位数。不能把“位于 75% 分位”读作通勤时间等于总时长的 75%。

[[File:Gezhi-highschool2-percentile-step.svg|frame|center|alt=九个有序通勤分钟数形成累计阶梯，水平的零点七五线首先在数值二十四处被阶梯达到|在明确采用经验分布逆函数约定后，读出样本七十五分位数为 24。]]

== 不同分位数约定的结果 ==
有的教材或软件在排序值之间做插值。例如用 <math>(n+1)p</math> 定位，本例的 75% 位置是 <math>10\times0.75=7.5</math>，位于第七个 24 与第八个 30 的正中，得到 27。24 与 27 都不是数据录错，而是'''分位数定义不同'''；写结论时要连同约定报告。样本量小、尾部稀疏时，约定差异尤其明显。若 <math>p=0</math> 或 <math>p=1</math>，还要另说端点的处理；本篇只在 <math>0<p\le1</math> 使用上面的逆函数定义。

== 从样本分位数到总体分位数 ==
样本第七个值为 24，不表示全公司 75% 的员工一定在 24 分钟内到达。不同概率样本会给出不同的样本分位数；名单遗漏、未回答和分层比例不符还会引入偏差。对于[[分层随机抽样]]，若各层抽取比例不同，计算总体累计比例时应按各层人数加权，而不能把所有样本排成一列后当作等权总体。[[员工通勤时长的分层调查]]给出一份完整的加权案例。

百分位数与平均数回答不同问题：一名通勤 45 分钟的人会抬高平均数，却未必改变此例的 75% 分位数；若把第七个 24 改为 34 并重新排序，分位数是否变化要重新按顺序检查，不能只看被改的那个数。

练习：按本篇的经验分布逆函数约定，九个值的 <math>p=1/3</math> 分位数是多少？<math>\lceil9/3\rceil=3</math>，第三个值为 16 分钟。核对：不超过 16 的观测有 3 个，累计比例恰为 <math>1/3</math>。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/2-3-measures-of-the-location-of-the-data OpenStax，Introductory Statistics 2e，§2.3]：百分位数与数据位置。本文明确采用经验分布逆函数作为主约定。
* 继续阅读：[[总体分布的估计]]、[[经验分布函数图]]、[[箱线图]]。
[[分类:概率与统计]]
[[分类:高中数学]]