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'''数列'''（sequence）是按正整数编号的一串数，例如 <math>a_n=1-2^{-n}</math> 给出 <math>1/2,3/4,7/8,\ldots</math>。谈'''数列的极限'''，不是问某一项是否等于目标，而是问从足够靠后的某项起，是否所有项都能保持在目标附近。

对上面的数列，每增加一项，离 1 的差距就减半：<math>|a_n-1|=2^{-n}</math>。前面任何有限项都小于 1，但差距最终可以比任意给定的正数还小，因此记 <math>a_n\to1</math>。

[[File:Gezhi-core-geometric-partials.svg|frame|center|alt=从零到一的线段依次涂出二分之一、四分之一、八分之一、十六分之一，标出部分和逐步靠近一|第 n 步末端距一仍有二的负 n 次方；图能看见趋势，精确误差由公式给出。]]

== “足够靠后”的精确定义 ==
对实数列 <math>(a_n)</math> 和实数 <math>L</math>，定义
<math display="block">a_n\longrightarrow L
\quad\Longleftrightarrow\quad
\text{对每个 }\varepsilon>0,\ \text{存在整数 }N,\ \text{使所有 }n\ge N\text{ 都满足 }|a_n-L|<\varepsilon.</math>
先由读者指定精度 <math>\varepsilon</math>，再选起点 <math>N</math>；从那里往后的'''所有'''项都要符合。仅有无限多个项接近 <math>L</math> 还不够，因为夹在其中的其他项可能一直远离。

对 <math>a_n=1-2^{-n}</math>，只需取整数 <math>N</math> 满足 <math>2^{-N}<\varepsilon</math>。因 <math>2^{-n}</math> 随 <math>n</math> 增大而减小，所有 <math>n\ge N</math> 都有 <math>|a_n-1|\le2^{-N}<\varepsilon</math>。这比“数值表看上去靠近 1”多给出一个保证。

再看 <math>b_n=(3n+1)/(n+2)</math>。把式子改写成
<math display="block">b_n=3-\frac5{n+2},\qquad |b_n-3|=\frac5{n+2}.</math>
给定 <math>\varepsilon>0</math>，选 <math>N>5/\varepsilon-2</math> 即可证明 <math>b_n\to3</math>。拆出“目标 + 误差”常比直接盯着分式更容易决定 <math>N</math>。

== 有界、单调与收敛 ==
前面的 <math>a_n</math> 递增，且始终小于 1。'''单调有界定理'''说：实数中，单调递增且有上界的数列必收敛；单调递减且有下界的数列也必收敛。它保证极限存在，却不一定直接给出极限是多少。

以递增情形说明理由。由[[上确界原理]]，所有项的上确界 <math>L</math> 存在。按上确界的定义，对于任意 <math>\varepsilon>0</math>，一定有一项 <math>a_N>L-\varepsilon</math>，否则 <math>L-\varepsilon</math> 就已经是更小的上界。因为数列递增，所有 <math>n\ge N</math> 都满足
<math display="block">L-\varepsilon<a_N\le a_n\le L.</math>
因此 <math>|a_n-L|<\varepsilon</math>，符合极限定义。证明真正用到的是实数的上确界性质；若只在有理数中工作，单调有界序列的极限可能不是有理数。

“有界”本身不够：<math>c_n=(-1)^n</math> 永远在 <math>[-1,1]</math>，却在 <math>-1</math> 与 1 间来回跳动，不趋向单个数；不过，[[博尔扎诺—魏尔斯特拉斯定理]]保证它仍有收敛子列。“单调”本身也不够：<math>d_n=n</math> 递增但无上界，不趋向有限实数。对于没有单调性的数列，[[柯西收敛准则]]提供了另一种检验办法。

== 递推式给出的数列 ==
不是每个数列都先有显式公式。令 <math>u_0=0</math>，并按
<math display="block">u_{n+1}=\frac{u_n+2}{3}</math>
更新。前几项为 <math>0,2/3,8/9,\ldots</math>。若极限存在且为 <math>L</math>，把两边取极限得到 <math>L=(L+2)/3</math>，候选值为 1；但仅解这个方程'''不能'''证明数列收敛。

从递推式减去 1，得到 <math>u_{n+1}-1=(u_n-1)/3</math>。起初误差为 <math>-1</math>，所以归纳可得 <math>u_n=1-3^{-n}</math>。误差趋零，才完成收敛证明。[[差分方程模型]]研究更多这类更新与稳定性问题。

== 数列与级数不是同一个对象 ==
数列 <math>a_n=1/n</math> 收敛于零；但把各项相加所得的 <math>1+1/2+1/3+\cdots</math> 并不收敛。[[无穷级数]]研究的是'''部分和数列'''，不能只检查每一项是否趋零。另一方面，图中 <math>1-2^{-n}</math> 恰好是 <math>1/2+1/4+\cdots+2^{-n}</math> 的部分和；同一张图因而可以从“数列极限”和“级数求和”两种角度阅读。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-1-sequences OpenStax，Calculus Volume 2，§5.1 Sequences]：数列极限与单调有界定理。
* [https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/5-2-infinite-series 同书 §5.2 Infinite Series]：以部分和数列定义级数。
* 继续阅读：[[极限]]、[[无穷级数]]、[[差分方程模型]]。
[[分类:分析]]
[[分类:微积分]]