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'''斐波那契数列'''可由两个初始值和一条递推式确定。约定 <math>F_1=F_2=1</math>，从第三项起令 <math>F_n=F_{n-1}+F_{n-2}</math>，得到 <math>1,1,2,3,5,8,13,\ldots</math>。有些资料改用 <math>F_0=0,F_1=1</math>；两种编号给出的后续数字相同，引用公式时应先看从哪一项开始编号。

== 两项记忆的递推 ==
要算 <math>F_6</math>，只需要前两项 <math>F_4=3,F_5=5</math>，所以 <math>F_6=8</math>。但要从头开始计算，两个初始值都不可省。与[[等差数列]]的固定差、[[等比数列]]的固定比不同，这里增量 <math>F_n-F_{n-1}=F_{n-2}</math> 本身在变化。

下图用边长为 1、1、2、3、5 的正方形拼成不断扩大的长方形。从第三块起，新正方形的边长等于前两块的边长之和；颜色只是帮助沿拼接顺序追踪数字。图形展示递推可以怎样出现，并不负责证明每个斐波那契恒等式。

[[File:Gezhi-highschool4-fibonacci-tiling.svg|frame|center|alt=依次拼接边长为一、一、二、三、五的五块正方形，每块边长标注数字并形成逐步扩大的长方形|沿着 1、1、2、3、5 的边长读拼图，可见新边长由前两次的长度相加。]]

== 前 n 项和 ==
前几项相加有 <math>1=F_3-1</math>、<math>1+1=F_4-1</math>、<math>1+1+2=F_5-1</math>。这提示
<math display="block">F_1+F_2+\cdots+F_n=F_{n+2}-1\qquad(n\ge1).</math>
这些小例子只能帮助猜测。用[[数学归纳法]]证明：<math>n=1</math> 时两边同为 1。若前 <math>n</math> 项之和为 <math>F_{n+2}-1</math>，再加入 <math>F_{n+1}</math>，便得到 <math>F_{n+2}+F_{n+1}-1=F_{n+3}-1</math>。最后一步恰好使用递推式，因此结论对所有正整数 <math>n</math> 成立。

例如前六项之和 <math>1+1+2+3+5+8=20</math>；公式给 <math>F_8-1=21-1=20</math>。若误把 <math>F_{n+1}-1</math> 写在右边，<math>n=2</math> 就会得到错误的 1，低下标核对能及时发现错位。

== 比值与极限 ==
相邻项的比值依次为 <math>1,2,3/2,5/3,8/5,\ldots</math>，并不恒定。若它趋于正数 <math>r</math>，递推式除以 <math>F_n</math> 提示 <math>r=1+1/r</math>，正根为 <math>\varphi=(1+\sqrt5)/2</math>。这个方程只求出'''可能的'''极限，还需要证明比值真的收敛。

可以进一步求通项来完成证明。令 <math>\psi=(1-\sqrt5)/2</math>，则 <math>\varphi^2=\varphi+1</math>、<math>\psi^2=\psi+1</math>。因此两个数列 <math>\varphi^n</math>、<math>\psi^n</math> 都满足“后一项等于前两项之和”的递推。它们的线性组合
<math display="block">G_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt5}</math>
也满足同一递推，并且 <math>G_0=0,G_1=1</math>。与约定 <math>F_0=0,F_1=1</math> 的斐波那契数列有相同起点和规则，归纳得到 <math>G_n=F_n</math>。又因 <math>|\psi/\varphi|<1</math>，
<math display="block">\frac{F_{n+1}}{F_n}
=\varphi\frac{1-(\psi/\varphi)^{n+1}}{1-(\psi/\varphi)^n}
\longrightarrow\varphi.</math>
通项看起来含无理数，但两个幂的差按递推必给出整数；收敛结论来自 <math>(\psi/\varphi)^n\to0</math>，而不只是数表外观。

== 名称与早期记载 ==
比萨的列奥纳多（斐波那契）在 1202 年的《算盘书》中，用一个理想化的兔群繁殖问题得到这串数。那是让每对兔子按固定月龄繁殖、且不考虑死亡的计数题；它展示递推的构造，并不是对真实兔群的可靠预测。以他命名也不意味着他是最早认识这类递推的人；不同文化中相似的计数问题有更早的研究，具体传播和起源仍需区分文献证据与推测。

'''试算。'''已知 <math>F_7=13,F_8=21</math>，不用重算前六项，求前八项之和。递推给 <math>F_9=34,F_{10}=55</math>，所以 <math>S_8=F_{10}-1=54</math>。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/11-1-sequences-and-their-notations OpenStax《Precalculus 2e》§11.1]：递推定义与斐波那契数列。
* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Glossary/fibonacci_sequence/ 圣安德鲁斯大学 MacTutor 数学史词条]：数列与《算盘书》的兔群问题；[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Publications/fibonacci.pdf 同站历史研究]讨论起源归属的证据与假说。
[[分类:数列]]
[[分类:高中数学]]