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'''欧拉公式'''（Euler's formula）把指数函数与圆周运动联系起来：
<math display="block">e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta.</math>
这里 <math>i^2=-1</math>，<math>\theta</math> 是以弧度表示的实数角度。理解这条公式，可以先看一个具体问题：怎样用一次乘法，把平面上的向量转过一个指定角度？

== 乘一个数，怎样使向量转动 ==
把平面上的点 <math>(x,y)</math> 记作复数 <math>x+iy</math>。例如 <math>1+i</math> 表示从原点指向 <math>(1,1)</math> 的向量。乘以 <math>i</math> 后，
<math display="block">i(1+i)=i+i^2=-1+i,</math>
终点变成 <math>(-1,1)</math>：向量长度未变，方向逆时针转了直角。对一般向量也一样，<math>i(x+iy)=-y+ix</math>，新坐标是 <math>(-y,x)</math>。

要转过别的角度，就需要单位圆上别的点。下图中，半径与横轴的夹角为 <math>\theta</math>，横、纵坐标分别是 <math>\cos\theta</math> 与 <math>\sin\theta</math>。因此这个点对应复数 <math>\cos\theta+i\sin\theta</math>，其长度为1。

[[File:Gezhi-euler-circle-theme.svg|frame|center|alt=复平面单位圆上角度为θ的点，横纵投影分别为余弦θ和正弦θ|单位圆上的点同时记录两个坐标和一个方向角。]]

将 <math>x+iy</math> 乘以它，展开得到
<math display="block">(x+iy)(\cos\theta+i\sin\theta)=(x\cos\theta-y\sin\theta)+i(x\sin\theta+y\cos\theta).</math>
若原向量长为 <math>r</math>、方向角为 <math>\alpha</math>，代入 <math>x=r\cos\alpha</math>、<math>y=r\sin\alpha</math>，再用和角公式，新坐标就是 <math>(r\cos(\alpha+\theta),r\sin(\alpha+\theta))</math>。乘法确实把方向转过 <math>\theta</math>，同时保留长度。

现在转动最初的 <math>1+i</math>，取 <math>\theta=\pi/3</math>，也就是60度：
<math display="block">\begin{aligned}
(1+i)\left(\frac12+i\frac{\sqrt3}2\right)
&=\frac12+i\frac{\sqrt3}2+\frac i2-\frac{\sqrt3}2\\
&=\frac{1-\sqrt3}2+i\frac{1+\sqrt3}2.
\end{aligned}</math>
新坐标约为 <math>(-0.366,1.366)</math>，平方和仍为2。原方向为45度，转后为105度，落在第二象限，与坐标符号吻合。用[[矩阵]]写同一变换，就是
<math display="block">\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}.</math>

== 为什么这个旋转数恰好是指数 ==
前面的计算解释了 <math>\cos\theta+i\sin\theta</math>，还没有解释 <math>e^{i\theta}</math>。实指数延伸到复数时，可以采用幂级数定义：
<math display="block">e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}.</math>
其中 <math>n!=1\cdot2\cdots n</math>，规定 <math>0!=1</math>。对任何固定复数 <math>z</math>，相邻项绝对值的比是 <math>|z|/(n+1)</math>；从某项起小于 <math>1/2</math>，后面的绝对值之和受到收敛等比级数控制。因此级数绝对收敛，偶数项、奇数项可以分别收集。

代入 <math>z=i\theta</math>。由于 <math>i^2=-1</math>、<math>i^3=-i</math>、<math>i^4=1</math>，幂次按四项循环：
<math display="block">\begin{aligned}
e^{i\theta}
&=1+i\theta-\frac{\theta^2}{2!}-i\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^4}{4!}+\cdots\\
&=\left(1-\frac{\theta^2}{2!}+\frac{\theta^4}{4!}-\cdots\right)
+i\left(\theta-\frac{\theta^3}{3!}+\frac{\theta^5}{5!}-\cdots\right).
\end{aligned}</math>
两个括号分别是余弦与正弦的泰勒级数，欧拉公式由此成立。从圆的几何定义三角函数时，泰勒定理可以证明这两个展开：各阶导数的绝对值不超过1，余项不超过 <math>|\theta|^{n+1}/(n+1)!</math>，对固定角度趋于零。标准三角函数导数采用弧度，所以这里的角度也采用弧度。

复指数还保留加法律。把两个绝对收敛的级数相乘，按总次数 <math>n</math> 收集项，其系数为
<math display="block">\sum_{k=0}^n\frac{z^kw^{n-k}}{k!(n-k)!}=\frac1{n!}\sum_{k=0}^n\binom nk z^kw^{n-k}=\frac{(z+w)^n}{n!}.</math>
最后一步是二项式定理，因而 <math>e^ze^w=e^{z+w}</math>。对纯虚指数，这恰好说先转 <math>\alpha</math> 再转 <math>\beta</math>，等于转 <math>\alpha+\beta</math>。级数的代数性质与平面的旋转规律在这里相接。

== 从半周旋转到方程的全部根 ==
转过半周，单位圆上的点为 <math>(-1,0)</math>，所以
<math display="block">e^{i\pi}=-1,\qquad e^{i\pi}+1=0.</math>
这称为欧拉恒等式。转过整周则回到原来的方向：<math>e^{i(\theta+2\pi k)}=e^{i\theta}</math>，其中 <math>k</math> 是整数。方向相同不意味着角度数值只有一个。

这点在求根时尤其有用。求 <math>z^3=8</math>，先写成 <math>z=re^{i\phi}</math>，其中 <math>r=|z|>0</math>。代入得 <math>r^3e^{3i\phi}=8</math>。比较长度，<math>r^3=8</math>，所以 <math>r=2</math>；比较方向，<math>3\phi=2\pi k</math>。取三个互不重复的方向，得到
<math display="block">z=2,\quad 2e^{2\pi i/3}=-1+i\sqrt3,\quad 2e^{4\pi i/3}=-1-i\sqrt3.</math>
再增加 <math>k</math> 就只是给这些根的角度增加整周，没有新根。三个根在半径2的圆上等角排列；它们的和为零，也与多项式 <math>z^3-8</math> 缺少二次项一致。

同理，对正整数 <math>n</math>，<math>z^n=1</math> 的全部根为 <math>e^{2\pi ik/n}</math>，<math>k=0,1,\ldots,n-1</math>。令 <math>\zeta=e^{2\pi i/n}</math>，当 <math>n>1</math> 时，和 <math>S=1+\zeta+\cdots+\zeta^{n-1}</math> 满足
<math display="block">(1-\zeta)S=1-\zeta^n=0.</math>
因为 <math>\zeta\ne1</math>，故 <math>S=0</math>。这证明圆周上均匀排列的向量相互抵消。把公比换成 <math>\zeta^m</math>，若整数 <math>m</math> 不是 <math>n</math> 的倍数，同样得到和为零；若是倍数，每项为1，和为 <math>n</math>。

== 把两个同频振动合成一个 ==
考虑 <math>\cos t+\sqrt3\sin t</math>。欧拉公式允许把两项放进同一个复乘法：
<math display="block">(1-i\sqrt3)e^{it}=(\cos t+\sqrt3\sin t)+i(\sin t-\sqrt3\cos t).</math>
我们要的恰好是实部。系数 <math>1-i\sqrt3</math> 长为2，方向为 <math>-\pi/3</math>，所以等于 <math>2e^{-i\pi/3}</math>。于是
<math display="block">\cos t+\sqrt3\sin t=\operatorname{Re}(2e^{i(t-\pi/3)})=2\cos(t-\pi/3).</math>
符号 <math>\operatorname{Re}</math> 表示取实部。原来的两项合成振幅2、相位 <math>-\pi/3</math> 的振动。振幅不是把1与 <math>\sqrt3</math> 直接相加，因为两项的峰值并不同时到达。

同频振动都带有共同因子 <math>e^{i\omega t}</math>，计算时可先相加复系数，再取实部。不同频率没有同一个这样的时间因子，通常仍需保留各自的振动。复指数在[[微分方程]]中也方便求导：一次求导乘以 <math>i\omega</math>，两次乘以 <math>-\omega^2</math>，因而直接给出 <math>y''+\omega^2y=0</math> 的振动解。

== 从圆周回到一般复指数 ==
对实数 <math>x,y</math>，加法律给出 <math>e^{x+iy}=e^x(\cos y+i\sin y)</math>：实部 <math>x</math> 控制长度 <math>e^x</math>，虚部 <math>y</math> 控制方向。复指数从不等于零。

反过来，给定 <math>z=re^{i\theta}\ne0</math>，求所有 <math>e^w=z</math> 的解，会得到
<math display="block">w=\log r+i(\theta+2\pi k),\qquad k\in\mathbb Z.</math>
这就是复对数有多个值的原因。若只选幅角位于 <math>(-\pi,\pi]</math> 的主值，<math>\operatorname{Log}(-1)=i\pi</math>，但 <math>\operatorname{Log}(1)=0</math>，故 <math>\operatorname{Log}((-1)(-1))</math> 不等于两个 <math>\operatorname{Log}(-1)</math> 之和。实数对数的乘积法则在复数中需要同时处理角度的选择。

共轭把角度反号：<math>\overline{e^{i\theta}}=e^{-i\theta}</math>。将这两个数相加、相减，分别保留实部、虚部，便有
<math display="block">\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}2,\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.</math>
三角函数既可以画成圆上的坐标，也可以写成旋转指数的组合。

== 历史 ==
棣莫弗在十八世纪研究复数的幂与角度之间的关系，欧拉则系统发展了指数、对数、三角函数与无穷级数的联系。《无穷分析引论》第一卷出版于1748年；[https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/101/ Euler Archive E101]保存了原著及书目信息。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Moivre/ MacTutor：De Moivre]与[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/ Euler]记录了相关人物的工作。

此处讨论的复指数恒等式，与多面体顶点、棱、面之间的 <math>V-E+F=2</math> 同称“欧拉公式”，但属于不同问题。

== 来源与继续阅读 ==
* [https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/101/ Euler Archive，E101：《Introductio in analysin infinitorum》卷一，1748]：原著与出版记录。
* [https://www.jirka.org/diffyqs/html/sec_ccsol.html Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》§2.2]：复数、欧拉公式与常系数方程。
* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Euler/ MacTutor：Leonhard Euler]；[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/De_Moivre/ Abraham de Moivre]：历史背景。
* 相关：[[导数]]、[[矩阵]]、[[群]]、[[微分方程]]。
[[分类:分析]]