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'''皮尔逊相关系数'''把[[协方差]]除以两个标准差：
<math display="block">\rho_{X,Y}=
\frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y},</math>
其中 <math>0<\sigma_X,\sigma_Y<\infty</math>。因此它没有单位，且由[[柯西不等式]]可知 <math>-1\le\rho\le1</math>。取值接近 1 表示强正线性关联，接近 −1 表示强负线性关联。

== 界限与等号 ==
令 <math>U=(X-E X)/\sigma_X</math>、<math>V=(Y-E Y)/\sigma_Y</math>，则 <math>E[U^2]=E[V^2]=1</math>，<math>\rho=E[UV]</math>。对平方可得 <math>0\le E[(U\mp V)^2]=2\mp2\rho</math>，于是 <math>|\rho|\le1</math>。若 <math>\rho=1</math>，则 <math>E[(U-V)^2]=0</math>，即几乎必然 <math>V=U</math>，两变量存在正斜率的精确线性关系；<math>\rho=-1</math> 类似。

== 相关为零并不意味着无关系 ==
让 <math>X</math> 在 <math>\{-1,0,1\}</math> 上等可能，<math>Y=X^2</math>。由对称性 <math>E X=E X^3=0</math>，故 <math>\rho=0</math>，但 <math>Y</math> 仍由 <math>X</math> 确定。散点图会呈 U 形，线性相关为零却有确定的非线性关系。相关系数也不能单凭数值说明因果。

== 样本相关系数怎样算 ==
对 <math>n\ge2</math> 对观测 <math>(x_i,y_i)</math>，令 <math>\bar x,\bar y</math> 为各自样本均值。若两组观测各自都不全相同，样本皮尔逊系数为
<math display="block">r=\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}
{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar x)^2}\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar y)^2}}.</math>
分子是同向偏离的合计；分母把它按两组数据各自的变动尺度标准化。若某组数全相同，分母为零，<math>r</math> 未定义，不应记成零。这里各项同时除以 <math>n-1</math> 会相互约去，所以公式里不必另写样本协方差。

[[散点图]]的四对数据 <math>(1,2),(2,3),(3,5),(4,4)</math> 给出 <math>\bar x=2.5,\bar y=3.5</math>，<math>S_{xx}=5,S_{yy}=5,S_{xy}=4</math>，因此 <math>r=4/\sqrt{5\cdot5}=0.8</math>。这表示此样本中较强的正'''线性'''关联。样本相关系数受离群点影响可能很大，读数前仍应查看散点形状、样本量和数据生成机制。[[一元线性回归]]接着用相同四点求出拟合线，说明 <math>r</math> 与决定系数的关系及其适用条件。

== 参考资料 ==
* [https://openstax.org/books/introductory-statistics-2e/pages/index OpenStax，Introductory Statistics 2e，Linear Regression and Correlation]。
* [https://ocw.mit.edu/courses/6-041-probabilistic-systems-analysis-and-applied-probability-spring-2006/pages/lecture-notes/ MIT 6.041，概率论讲义]。
* [https://online.stat.psu.edu/stat200/Lesson12 Penn State STAT 200，第 12 课]：样本相关系数与线性回归。
* 继续阅读：[[协方差]]、[[散点图]]、[[最小二乘法]]。
[[分类:概率与统计]]