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'''误差线图'''（error-bar plot）用一段线表示某个点估计周围的区间。单看两端的位置无法知道它表示的是原始数据的标准差、估计量的标准误、置信区间，还是仪器允许误差；必须在图注中写明对象、算法、置信水平和单位。区间的含义来自计算与假设，不来自线段的外形。

== 两组五次观测与两条区间 ==

设两组独立的等候时间分别为 A：<math>5,6,7,8,9</math> 分钟，B：<math>7,8,9,10,11</math> 分钟。这些是'''合成教学数据'''，两组各 <math>n=5</math>。样本均值为 <math>\bar x_A=7</math>、<math>\bar x_B=9</math> 分钟。先保留图中的全部原始点，再讨论要给哪个量画区间。

以 A 组为例，五个值与均值的差为 <math>-2,-1,0,1,2</math>，平方和为 <math>10</math>。样本方差按 <math>n-1=4</math> 作分母，故 <math>s_A^2=10/4=2.5\ \mathrm{min}^2</math>，样本标准差 <math>s_A\approx1.581</math> 分钟。B 组只是整体加了两分钟，因此 <math>s_B^2=2.5\ \mathrm{min}^2</math>。

若把每组的五次读数看作来自同一正态总体的独立样本，可用 <math>t</math> 区间估计该组总体均值 <math>\mu</math>。标准误为 <math>s/\sqrt n=\sqrt{2.5/5}\approx0.7071</math> 分钟；自由度为 <math>4</math> 的 <math>t</math> 分布有 <math>t_{0.975,4}\approx2.776</math>。于是
<math display="block">\bar x\pm t_{0.975,4}\frac{s}{\sqrt n}
=\bar x\pm 1.963\ \mathrm{min}.</math>
两组的 95% 置信区间约为 A 的 <math>[5.04,8.96]</math> 与 B 的 <math>[7.04,10.96]</math> 分钟。图中浅色小点是原始观测，较大的彩色点是均值，竖线两端才是按上述模型计算的区间。均值为 <math>7</math> 的点与恰好为七分钟的原始点重合，但代表的对象不同。

[[File:Gezhi-stats-uncertainty-interval.svg|frame|center|alt=A组5到9分钟、B组7到11分钟的各五次原始点；A组均值7分钟的95% t区间约5.04到8.96，B组均值9分钟的区间约7.04到10.96|小点保留每组五次观察，较大的点表示均值；两端带帽的彩色竖线表示在独立正态抽样假设下计算的总体均值 95% t 置信区间。纵轴单位为分钟。]]

== 标准差、标准误和置信区间不能互换 ==

<math>s</math> 描述'''组内个体读数'''的离散程度；<math>s/\sqrt n</math> 是'''样本均值'''的估计标准误；上式再乘 <math>t</math> 分位数，才形成指定置信水平的均值区间。若只画 <math>\bar x\pm s</math>，不能在图注中称它为“95% 置信区间”。反过来，均值置信区间也不是下一位参加者可能等待的范围；个体预测还包含新的个体差异，通常更宽。

95% 的频率解释对应'''重复采用同一种抽样与建区间方法'''：在模型条件成立时，长期反复得到的区间约有 95% 包含固定但未知的总体均值。它不表示已算出的这个区间内“均值有 95% 的概率”。仅五个数据点很难从图上核实正态与独立假设，故示例的区间是说明方法，不是关于真实候车系统的结论。

== 比较两组时计算差值区间 ==

两条 95% 区间是否重叠，不是一条通用的显著性判据。此例若另外假设两组总体方差相同，则两个样本方差都为 <math>2.5</math>，合并方差为
<math display="block">s_p^2=\frac{(5-1)s_A^2+(5-1)s_B^2}{5+5-2}
=\frac{4(2.5)+4(2.5)}8=2.5\ \mathrm{min}^2.</math>
两组均值差的标准误于是为
<math display="block">\operatorname{SE}(\bar X_B-\bar X_A)
=s_p\sqrt{\frac15+\frac15}=1\ \mathrm{min}.</math>
在独立正态、等方差模型下，自由度为 <math>8</math> 的双侧 95% 区间为
<math display="block">(\bar x_B-\bar x_A)\pm t_{0.975,8}\operatorname{SE}
=2\pm2.306=[-0.306,4.306]\ \mathrm{min}.</math>
它包含零，表示这组小样本按该方法尚不能把总体均值差与零清楚区分。样本中的两分钟差仍是已经观察到的事实；推断结论回答的是另一个问题。若方差或抽样方式与上述假设不符，应重新选择计算方法，而不能照搬图上端点。

误差线旁应标出每组 <math>n</math>、所画区间类型与算法，并尽量保留原始点。跨时间绘制一串区间时还须说明它们是否来自同一批对象，以及是否考虑多次比较。只给一个彩色柱和两条没有定义的“±”线，无法让读者判断图在表达变异、估计精度还是测量误差。

== 参考资料 ==
* [https://itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda352.htm NIST/SEMATECH：均值的置信区间]，<math>t</math> 区间公式与覆盖率解释。
* [https://ggplot2.tidyverse.org/reference/geom_linerange.html ggplot2：区间图形对象]，位置、下界与上界的图形表示。
* [https://service-manual.ons.gov.uk/data-visualisation/guidance/showing-uncertainty-in-charts 英国国家统计局：图中表示不确定性]，清楚标注区间含义与读图说明。
* 相关：[[统计推断]]、[[方差与标准差]]、[[箱线图]]、[[置信带图]]、[[统计图形语法]]。

[[分类:概率与统计]]