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'''集合'''（set）是把一些确定的对象放在一起所形成的数学对象，其中的对象叫作元素。两个集合只要元素完全相同，就是同一个集合；元素的排列顺序和重复书写的次数不影响集合。

例如，方程 <math>x^2=1</math> 的实数解有两个，可以把它们合写成解集 <math>\{-1,1\}</math>。花括号表示“把这些对象作为一个整体”。集合语言使我们既能讨论某一个解，也能讨论所有解之间的关系。

== 怎样说明一个集合 ==
设一枚骰子的六种点数构成集合
<math display="block">U=\{1,2,3,4,5,6\}.</math>
如果只取偶数点数，就得到 <math>A=\{2,4,6\}</math>。记号 <math>2\in A</math> 读作“2 属于 A”，而 <math>3\notin A</math> 表示 3 不是 A 的元素。

除了逐个列举，还可以用条件描述同一个集合：
<math display="block">A=\{n\in U:n\text{ 是偶数}\}.</math>
冒号前说明从哪里取对象，冒号后说明筛选条件。这样写特别适合不能逐项列完的集合。例如 <math>\{n\in\mathbb Z:n>0\}</math> 是全体正整数，其中 <math>\mathbb Z</math> 表示整数集合。

范围会影响结果。方程 <math>x^2=1</math> 在实数中的解集是 <math>\{-1,1\}</math>，限制在非负实数中则只有 <math>\{1\}</math>。“很大的数”还没有确定的范围和标准，而“超过一百万的整数”已经能逐一判断某个对象是否属于其中。定义一个集合并不要求能迅速找到它的每个元素，但成员条件应当明确。

集合也不保留次数。例如 <math>\{1,2,2\}=\{1,2\}</math>。如果一组测量记录为 1、2、2，改写成集合后就丢失了一次重复测量；计算平均值时仍须使用原记录。需要保留顺序的对象可以用序列表示，需要保留次数的对象可以用多重集表示。

== “属于”和“包含”问的是两件事 ==
继续看骰子集合。<math>A=\{2,4,6\}</math> 中的每个元素都在 <math>U</math> 中，因而称 A 是 U 的'''子集'''，记为 <math>A\subseteq U</math>。这个符号问的是一整组对象是否全部被包含，而 <math>2\in A</math> 问的是一个对象是否属于其中。

集合本身也可以充当元素。取
<math display="block">C=\{1,\{2\}\}.</math>
C 的两个元素分别是数字 1 和集合 <math>\{2\}</math>。因此 <math>\{2\}\in C</math>，但 <math>2\notin C</math>。另一方面，<math>\{1\}\subseteq C</math>，因为它唯一的元素 1 在 C 中；<math>\{2\}\not\subseteq C</math>，因为它唯一的元素 2 不在 C 中。辨别这两种关系时，要先看清正在检查的是哪个对象。

没有任何元素的集合称为'''空集'''，记作 <math>\varnothing</math>。它与 <math>\{\varnothing\}</math> 不同：前者没有元素，后者有一个元素，这个元素本身是空集。空集是任何集合的子集，因为不存在“属于空集却不属于另一个集合”的元素。

证明两个集合相等，常用'''双向包含'''：先证明 A 的每个元素都在 B 中，再证明 B 的每个元素都在 A 中。这样双方都没有多余的元素，便有 <math>A=B</math>。这里的 <math>\subseteq</math> 允许相等；若 A 是 B 的子集而又不等于 B，记为 <math>A\subsetneq B</math>，称为真子集。

== 把两个筛选条件合起来 ==
除偶数点数 <math>A=\{2,4,6\}</math> 外，再设 <math>B=\{1,2,3\}</math>，表示不超过 3 的点数。现在有几种不同的筛选要求。

“是偶数，或者不超过 3”得到'''并集''' <math>A\cup B</math>；这里“或者”允许两个条件同时成立。“是偶数，并且不超过 3”得到'''交集''' <math>A\cap B</math>。逐项筛选，得到
<math display="block">A\cup B=\{1,2,3,4,6\},\qquad A\cap B=\{2\}.</math>
下图将两种筛选并排画出。左图着色整个 A 与 B，只要在任一圈内便被保留；右图只着色两圈重叠处，保留下来的元素只有 2。

[[File:Gezhi-teaching-foundation-sets-operations.svg|frame|center|alt=骰子点数集合的并集与交集，左图两圈整体着色包含一二三四六，右图只着色重叠处的二|并集取两圈覆盖的全部区域，交集只取共同区域。]]

点数 2 同时符合两个条件，但在并集中只出现一次。记 <math>|A|</math> 为有限集合 A 的元素个数，就有
<math display="block">|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=3+3-1=5.</math>
减去交集，是因为先前相加时把其中的元素计算了两遍。这是[[组合数学]]中容斥计数的起点。

“是偶数，但超过 3”得到'''差集''' <math>A\setminus B=\{4,6\}</math>；反过来，<math>B\setminus A=\{1,3\}</math>。差集有方向，交换两集合会改变答案。

在已经指定的全集 U 内，所有不属于 A 的元素组成 A 的'''补集'''：
<math display="block">A^c=U\setminus A=\{1,3,5\}.</math>
这里的“不属于”仅在骰子的六种点数中检查。如果全集扩成从 1 到 10 的整数，同时保持 A 仍为 <math>\{2,4,6\}</math>，补集中就还包括 7、8、9、10。

=== 区间运算怎样处理端点 ===
集合的元素也可以遍布一段连续范围。令 <math>A=[-1,2)</math>、<math>B=(0,3]</math>，方括号表示包括端点，圆括号表示不包括。

同时属于两个区间，需要 <math>x>0</math> 且 <math>x<2</math>，所以交集是 <math>(0,2)</math>。至少属于一个区间，就覆盖了从 −1 到 3 的所有点，故并集为 <math>[-1,3]</math>。

再求差集。A 中的 0 不属于 B，应当保留；A 中任何大于 0 的点都属于 B，应当删去，因此 <math>A\setminus B=[-1,0]</math>。同理，2 属于 B 却不属于 A，所以 <math>B\setminus A=[2,3]</math>。逐个检查边界点，便能决定最后使用圆括号还是方括号。

== 集合等式为什么成立 ==
求“并集的补集”，就是找两个条件都不符合的对象。仍用骰子例子，<math>A\cup B</math> 只缺少 5；而既不是偶数、又不小于等于 3 的点数也只有 5。这提示了德摩根律
<math display="block">(A\cup B)^c=A^c\cap B^c.</math>
下图把两种描述放在同一个全集中：左边先合并两个圈，再取圈外；右边要求同时在 A 外和 B 外。两边着色区域相同，本例都只包含点数 5。

[[File:Gezhi-teaching-foundation-sets-demorgan.svg|frame|center|alt=左右两个相同的全集与相交圆，均着色两圈以外区域，展示并集的补等于两个补集的交|德摩根律把“并集之外”改写成“两个集合都不属于”。]]

一般证明可以从任意一个全集中的元素 x 出发。它属于左边，当且仅当它不属于 <math>A\cup B</math>；这又等价于 <math>x\notin A</math> 且 <math>x\notin B</math>，正是属于右边的条件。左右两边的成员条件完全相同，集合便相等。

另一条德摩根律为
<math display="block">(A\cap B)^c=A^c\cup B^c.</math>
“不同时满足两个条件”，意味着至少一个条件失败。例如骰子点数 4 不是“既偶数又不超过 3”的点数，尽管它满足偶数这个条件。这说明右侧要用并集。

用同样的方法，可以证明分配律：
<math display="block">A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C).</math>
左侧要求先属于 A，再在 B、C 中至少属于一个。按后一个条件分成两种情况，正好得到右侧的两部分。

差集的分配形式则需要重新检查。例如
<math>A\setminus(B\cup C)</math> 应当是 <math>(A\setminus B)\cap(A\setminus C)</math>。若误用并集，取 <math>A=B=\{1\}</math>、<math>C=\varnothing</math>，左侧为空，误写的右侧却含有 1。一个具体元素已足以判定两集合不等。

=== 用元素检查区域 ===
下面固定全集 <math>U=\{1,2,3,4,5,6\}</math>，<math>A=\{2,4,6\}</math>，<math>B=\{4,5,6\}</math>。选择一种运算后，先逐个判断哪些数满足条件，再与着色区域核对。特别比较“并集的补集”和“两个补集的交集”：两种描述都留下 1 与 3。这个有限例子帮助读图，前面的逐元素论证才说明等式对任意集合成立。

<math-experiment type="sets" />

== 用集合建立配对和选择 ==
有时一个对象由两个部分组成，例如一次选择由“尺码”和“颜色”共同决定。这需要有序对：第一项与第二项各有位置，<math>(1,2)</math> 与 <math>(2,1)</math> 因而不同。

设 <math>A=\{0,1\}</math>、<math>B=\{a,b,c\}</math>。全部可能的有序对组成'''笛卡尔积'''
<math display="block">A\times B=\{(0,a),(0,b),(0,c),(1,a),(1,b),(1,c)\}.</math>
每个第一项都配上三个第二项，共有 <math>2\cdot3=6</math> 对。一般有限集合满足 <math>|A\times B|=|A||B|</math>；有一边为空时，连一个完整配对也没有，积便为空。[[函数]]的输入与输出可以组成有序对，因此函数也能用这种语言描述。

另一种问题是从一个集合中选出任意一些元素。若 <math>A=\{u,v\}</math>，全部选法为
<math display="block">\varnothing,\quad\{u\},\quad\{v\},\quad\{u,v\}.</math>
把这些子集作为元素放在一起，得到 A 的'''幂集''' <math>\mathcal P(A)</math>。一个有 n 个元素的集合，每个元素都有“选”与“不选”两种状态，故幂集有 <math>2^n</math> 个元素。也可以用一串 0、1 记录这些选择；在[[概率]]中，事件的指示函数采用的就是这种记录方式。

== 按同一种标准分组 ==
将整数按除以 3 的余数分组，会得到三类：余 0、余 1、余 2。每个整数恰在其中一类，各类互不重叠，合起来又包含全部整数。这样的一组非空子集叫作原集合的'''划分'''。

这里“属于同一类”有三个性质：每个数与自己同类；a 与 b 同类时，b 也与 a 同类；a 与 b 同类、b 与 c 同类时，a 与 c 也同类。这分别称为自反性、对称性和传递性。具备这三条性质的关系叫作等价关系。

给定等价关系，把与 a 等价的所有元素收集起来，便得到 a 的等价类。若两类共享一个元素 z，第一类的任意元素可以经由 z 与第二类的代表相连，由对称性和传递性可知它也在第二类；反过来也成立。因此两类一旦相交就必相同。这说明等价类确实形成划分。反过来，从任意划分出发，把“在同一块中”作为等价的定义，也具有上述三条性质。

“看起来接近”未必能如此分组。例如把两个相差不到 1 的实数称为接近，0 与 0.6 接近，0.6 与 1.2 接近，0 与 1.2 却不接近。缺少传递性时，就不能据此直接形成互不重叠的等价类。整数的[[同余]]提供了严格成立的分组例子。

== 无限集合的大小 ==
对有限集合，可以数元素个数；对无限集合，可以改问元素能否一一配对。若两集合之间存在[[函数|双射]]，就称它们'''等势'''。

非负整数与非负偶数可按 <math>n\mapsto2n</math> 配对：0 配 0，1 配 2，2 配 4，依此类推。不同输入不会配到同一个偶数，每个非负偶数也恰好对应它的一半。因此无限集合可能与自己的真子集等势。

但无限集合也有不同的大小。康托尔定理说，对任何集合 A，函数 <math>f:A\to\mathcal P(A)</math> 都不可能列出 A 的全部子集。理解这个结论，可以设想每个元素 x 名下登记一个子集 f(x)，然后试着构造一个没有登记过的子集。

构造方法是：检查 x 是否在自己名下的子集 f(x) 中；不在，就把 x 选入新集合，在，就不选。由此得到
<math display="block">D=\{x\in A:x\notin f(x)\}.</math>
D 不可能等于任何 f(d)。如果 d 属于 D，构造规则要求 d 不属于 f(d)，两集合在 d 处不同；如果 d 不属于 D，规则又要求 d 属于 f(d)，仍然不同。因此总有一个子集漏在列表之外。

同时，<math>x\mapsto\{x\}</math> 能把 A 中的不同元素送到不同子集。A 可以嵌入自己的幂集，而幂集无法被 A 一一列尽，这就是幂集严格更大的含义。有限情形的 <math>2^n>n</math> 是同一个现象的计数形式。

== 集合论的发展与构造边界 ==
Cantor 在 1874 年的论文中比较代数实数与全体实数的大小，推动了对不同无限规模的研究。[https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_theory/ MacTutor 集合论史]介绍了这一工作及后续的发展。

研究也表明，并非随便描述一个“全体”都能得到集合。若假设所有不属于自身的集合组成一个集合 R，再问 R 是否属于自身，就会出现矛盾：属于自身便不符合收集条件，不属于自身又符合条件而应被收集。这是罗素悖论的形式。

Zermelo 在 1908 年提出公理系统，限制哪些构造能够产生集合。其中的分离原则允许从一个已给定的集合中筛选满足条件的元素，而不直接承认一个包含所有集合的全集。这样，开头从骰子全集 U 中筛选偶数，与任意搜集“所有集合”便有了明确区别。[https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia：Zermelo’s Axiomatization of Set Theory]

== 参考资料 ==
* [https://www.jirka.org/ra/html/sec_basicset.html Jiří Lebl，Basic Analysis，Basic set theory]：集合、函数与大小比较。
* [https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Beginnings_of_set_theory/ J. J. O’Connor、E. F. Robertson，A history of set theory]。
* [https://plato.stanford.edu/entries/zermelo-set-theory/ Stanford Encyclopedia of Philosophy，Zermelo’s Axiomatization of Set Theory]。
* 相关条目：[[函数]]、[[逻辑]]、[[组合数学]]、[[概率]]、[[拓扑空间]]。
[[分类:基础与逻辑]]