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'''1993年国赛A题：非线性交调的频率设计'''是1993年全国大学生数学建模竞赛的A题。

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== 非线性系统与交调 ==

非线性器件可能在输出中产生输入所没有的频率。例如，关系<math>y(t)=u(t)+u^2(t)</math>作用于<math>u(t)=\cos(2\pi f_1t)+\cos(2\pi f_2t)</math>时，会出现<math>2f_1</math>、<math>f_1\pm f_2</math>等新频率。题目把这些新频率成分称为'''交调'''；它们接近接收频率时会产生干扰。

某SCS非线性系统的输入—输出数据如下。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="SCS输入输出数据" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 输入u !! 输出y
|-
| 0 || 0
|-
| 5 || 2.25
|-
| 10 || 6.80
|-
| 20 || 20.15
|-
| 30 || 35.70
|-
| 40 || 56.40
|-
| 50 || 75.10
|-
| 60 || 87.85
|-
| 80 || 98.50
|}
</div>

实际输入为

<math display="block">u(t)=25\cos(2\pi f_1t)+10\cos(2\pi f_2t)+45\cos(2\pi f_3t).</math>

== 频率设计的五项条件 ==

# 频率范围为<math>36\le f_1\le40</math>、<math>41\le f_2\le50</math>、<math>46\le f_3\le55</math>。
# 每个<math>f_i</math>的接收带为<math>f_i\pm5</math>所界定的范围，交调不得落在接收带内。
# 设原频率<math>f_i</math>在输出中的振幅为<math>B_i</math>，某交调频率<math>f_n</math>的振幅为<math>C_n</math>，按下面的式子定义信噪比。若该交调位于<math>f_n=f_i\pm6</math>，相应信噪比必须'''大于10分贝'''。
# 任一<math>f_i</math>不能处在另一个<math>f_j</math>的接收带内，其中<math>i\ne j</math>。
# 三个频率只取'''整数'''。交调只研究二阶<math>f_i\pm f_j</math>与三阶<math>f_i\pm f_j\pm f_k</math>，各下标取1、2、3。

<math display="block">\mathrm{SNR}=10\log_{10}\frac{B_i^2}{C_n^2}\quad\text{（分贝）}.</math>

[[File:Contest-original-1993-national-A-reception.svg|frame|center|alt=原题接收带、信号振幅与交调振幅示意图。|原题接收带、信号振幅与交调振幅示意图。 来源：赛题_中文1992_2000.pdf第2页。]]

== 要求 ==

按照上述系统数据和全部限制，设计输入频率<math>f_1,f_2,f_3</math>。

== 附件与来源 ==

[https://www.mcm.edu.cn/upload_cn/node/1/SkAh1A7Q6f2dd01e58aa621f920e79f45cd5d255.pdf 官方1992—2000年题目汇编PDF]。本题见汇编第2页。

来源：[https://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/616c965be296e1e56d58bb31cb242ac2.html 全国大学生数学建模竞赛官方发布页]。核对日期：2026年9月22日。

[[分类:国赛赛题]]