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'''2000年国赛B题：钢管订购和运输'''是2000年全国大学生数学建模竞赛的B题。

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== 订货、运输与铺设范围 ==

计划铺设天然气主管道 <math>A_1\to A_2\to\cdots\to A_{15}</math>。七家钢厂 <math>S_1,\ldots,S_7</math> 可以生产所需钢管。把可铺设 1 千米主管道的钢管记为 1 单位钢管。

一旦由某钢厂承担制造任务，该厂的订单至少为 500 单位，且不能超过指定期限内的产量上限。各厂数据如下：

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="钢厂产能与出厂价格" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 钢厂 !! S1 !! S2 !! S3 !! S4 !! S5 !! S6 !! S7
|-
| 产量上限（单位钢管） || 800 || 800 || 1000 || 2000 || 2000 || 2000 || 3000
|-
| 出厂单价（万元/单位钢管） || 160 || 155 || 155 || 160 || 155 || 150 || 160
|}
</div>

管道沿线已有公路或施工公路。钢管可经铁路、公路运输，必须供应管道全线各铺设位置，不是只把钢管运到十五个编号点就算完成。

== 运输费用 ==

一单位钢管的铁路运输费用按里程区间计价：

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="铁路运价" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 铁路里程（千米） !! 万元/单位钢管
|-
| 不超过 300 || 20
|-
| 301—350 || 23
|-
| 351—400 || 26
|-
| 401—450 || 29
|-
| 451—500 || 32
|-
| 501—600 || 37
|-
| 601—700 || 44
|-
| 701—800 || 50
|-
| 801—900 || 55
|-
| 901—1000 || 60
|}
</div>

超过 1000 千米后，每增加 1—100 千米，运费增加 5 万元。公路运价为每单位钢管每千米 0.1 万元；不足一整千米的部分按一千米收费。

== 图一：线形管道的完整网络 ==

以下用连接表表达原图的网络，所有路段长度均为千米。A 表示管道点，S 表示钢厂；原图未命名的车站在此依次记为 R1—R17。它们只是便于辨认同一节点的标记，不是新的设施。铁路与公路分别列出，表中没有连接的两点不另设直接路段。

[[File:Contest-original-2000-national-B-network-1.svg|frame|center|alt=原题图一：钢厂、铁路、公路及线形主管道的完整网络。|原题图一：钢厂、铁路、公路及线形主管道的完整网络。官方原图有个别数字排版裁断，连接与里程同时列于下表。 来源：赛题_中文1992_2000.pdf第19页。]]

=== 主管道 ===

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="主管道相邻点距离" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 起点 !! 终点 !! 长度
|-
| A1 || A2 || 104
|-
| A2 || A3 || 301
|-
| A3 || A4 || 750
|-
| A4 || A5 || 606
|-
| A5 || A6 || 194
|-
| A6 || A7 || 205
|-
| A7 || A8 || 201
|-
| A8 || A9 || 680
|-
| A9 || A10 || 480
|-
| A10 || A11 || 300
|-
| A11 || A12 || 220
|-
| A12 || A13 || 210
|-
| A13 || A14 || 420
|-
| A14 || A15 || 500
|}
</div>

=== 铁路 ===

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="铁路路段" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 端点一 !! 端点二 !! 长度
|-
| R1 || R2 || 450
|-
| R2 || R3 || 80
|-
| R2 || R4 || 1150
|-
| R4 || R8 || 1100
|-
| R5 || R6 || 3060
|-
| R6 || R7 || 195
|-
| R7 || S1 || 20
|-
| S1 || R8 || 202
|-
| S2 || R8 || 1200
|-
| R8 || R9 || 720
|-
| S3 || R9 || 690
|-
| R9 || R10 || 520
|-
| R10 || R11 || 170
|-
| S4 || R11 || 690
|-
| R11 || R12 || 88
|-
| R12 || S5 || 462
|-
| R11 || R13 || 160
|-
| R13 || R14 || 70
|-
| R13 || R15 || 320
|-
| R15 || R16 || 160
|-
| R16 || S6 || 70
|-
| R16 || R17 || 290
|}
</div>

=== 公路接驳 ===

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="公路接驳路段" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 端点一 !! 端点二 !! 长度
|-
| R1 || A2 || 3
|-
| R3 || A3 || 2
|-
| R4 || A4 || 600
|-
| R5 || A5 || 10
|-
| R6 || A6 || 5
|-
| R7 || A7 || 10
|-
| S1 || A7 || 31
|-
| R8 || A8 || 12
|-
| R9 || A9 || 42
|-
| R10 || A10 || 70
|-
| R12 || A11 || 10
|-
| R14 || A12 || 10
|-
| R15 || A13 || 62
|-
| S6 || A14 || 110
|-
| R16 || A14 || 30
|-
| R17 || A15 || 20
|-
| R17 || S7 || 30
|-
| S7 || A15 || 20
|}
</div>

除接驳道路外，主管道沿线本身也可进行公路运输。S7 与 R17 之间的 30 千米线段、S7 至 A15 的 20 千米线段属于原图细线道路；不应把钢厂所在位置一律当作铁路相连。

== 图二：增加支线后的树形管道 ==

第三问保留上面的交通网络及 A1—A15 管道，并增加下列管道支线。新增点与原网络节点的对应关系为：A16=R9，A17=R12，A18=R13，A19=R14，A20=R15，A21=S6。原图将 S6 旁的 A21 放在括号中标出。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="树形管道新增路段" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 起点 !! 终点 !! 长度（千米）
|-
| A9 || A16 || 42
|-
| A11 || A17 || 10
|-
| A17 || A18 || 130
|-
| A17 || A19 || 190
|-
| A19 || A20 || 260
|-
| A20 || A21 || 100
|}
</div>

其中原来的 R9—A9 与 R12—A11 接驳位置也成为需铺设钢管的管道段；不能在管道需求中遗漏这两段。

[[File:Contest-original-2000-national-B-network-2.svg|frame|center|alt=原题图二：增加支线后的树形管道网络。|原题图二：增加支线后的树形管道网络。 来源：赛题_中文1992_2000.pdf第20页。]]

== 需要完成的三项任务 ==

# 对图一制定总费用最小的钢管订购、运输计划，并给出总费用。
# 在第一问的模型中，分析哪一家钢厂的销价变化对购运计划及总费用影响最大，以及哪一家钢厂产量上限变化的影响最大，给出相应数字结果。
# 将问题推广到管道呈树形、铁路与公路共同构成网络的情况，给出解决办法；对图二仍按第一问要求建立模型并给出结果。

== 附件与来源 ==

[https://www.mcm.edu.cn/upload_cn/node/1/SkAh1A7Q6f2dd01e58aa621f920e79f45cd5d255.pdf 官方1992—2000年题目汇编PDF]。本题见汇编第18—20页。

来源：[https://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/616c965be296e1e56d58bb31cb242ac2.html 全国大学生数学建模竞赛官方发布页]。核对日期：2026年9月22日。

[[分类:国赛赛题]]