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'''2000年国赛D题：空洞探测'''是2000年全国大学生数学建模竞赛的D题。

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== 平板与测量布置 ==

一块均匀介质平板内有若干充满空气的空洞。希望利用弹性波在介质与空气中传播速度不同这一条件，依据波源到接收器的传播时间，确定空洞位置。

平板为 <math>240\text{ 米}\times240\text{ 米}</math> 的正方形。按图的方向，A 在左下、B 在右下、C 在右上、D 在左上。在 AB 边等距设置 7 个波源 <math>P_i</math>，在对边 CD 对应设置 7 个接收器 <math>Q_j</math>；在 AD 边等距设置 7 个波源 <math>R_i</math>，在对边 BC 对应设置 7 个接收器 <math>S_j</math>，其中 <math>i,j=1,\ldots,7</math>。

<math>t_{ij}</math> 是从 <math>P_i</math> 到 <math>Q_j</math> 的传播时间，<math>\tau_{ij}</math> 是从 <math>R_i</math> 到 <math>S_j</math> 的传播时间。弹性波在介质中的速度为 2880 米/秒，在空气中的速度为 320 米/秒；沿板边缘的传播速度与在介质中相同。

[[File:Contest-original-2000-national-D-rays.svg|frame|center|alt=原题正方形平板、波源与接收器的测量布置；箭头示意两组测量中的传播方向。|原题正方形平板、波源与接收器的测量布置；箭头示意两组测量中的传播方向。个别字母边缘的排版缺损按官方原图保留。 来源：赛题_中文1992_2000.pdf第21页。]]

== 两组测量时间 ==

以下全部时间的单位都是秒，每行对应一个波源，每列对应一个接收器。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="Pi到Qj的传播时间" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 波源 !! Q1 !! Q2 !! Q3 !! Q4 !! Q5 !! Q6 !! Q7
|-
| P1 || 0.0611 || 0.0895 || 0.1996 || 0.2032 || 0.4181 || 0.4923 || 0.5646
|-
| P2 || 0.0989 || 0.0592 || 0.4413 || 0.4318 || 0.4770 || 0.5242 || 0.3805
|-
| P3 || 0.3052 || 0.4131 || 0.0598 || 0.4153 || 0.4156 || 0.3563 || 0.1919
|-
| P4 || 0.3221 || 0.4453 || 0.4040 || 0.0738 || 0.1789 || 0.0740 || 0.2122
|-
| P5 || 0.3490 || 0.4529 || 0.2263 || 0.1917 || 0.0839 || 0.1768 || 0.1810
|-
| P6 || 0.3807 || 0.3177 || 0.2364 || 0.3064 || 0.2217 || 0.0939 || 0.1031
|-
| P7 || 0.4311 || 0.3397 || 0.3566 || 0.1954 || 0.0760 || 0.0688 || 0.1042
|}
</div>

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="Ri到Sj的传播时间" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 波源 !! S1 !! S2 !! S3 !! S4 !! S5 !! S6 !! S7
|-
| R1 || 0.0645 || 0.0602 || 0.0813 || 0.3516 || 0.3867 || 0.4314 || 0.5721
|-
| R2 || 0.0753 || 0.0700 || 0.2852 || 0.4341 || 0.3491 || 0.4800 || 0.4980
|-
| R3 || 0.3456 || 0.3205 || 0.0974 || 0.4093 || 0.4240 || 0.4540 || 0.3112
|-
| R4 || 0.3655 || 0.3289 || 0.4247 || 0.1007 || 0.3249 || 0.2134 || 0.1017
|-
| R5 || 0.3165 || 0.2409 || 0.3214 || 0.3256 || 0.0904 || 0.1874 || 0.2130
|-
| R6 || 0.2749 || 0.3891 || 0.5895 || 0.3016 || 0.2058 || 0.0841 || 0.0706
|-
| R7 || 0.4434 || 0.4919 || 0.3904 || 0.0786 || 0.0709 || 0.0914 || 0.0583
|}
</div>

== 需要完成的两项任务 ==

# 利用给定测量资料，确定平板内空洞的位置。
# 讨论只使用 <math>t_{ij}</math> 这一组测量能否确定空洞位置；在仍能确定空洞位置的前提下，讨论减少波源和接收器数量的办法。

== 原始数据说明 ==

两表保留官方题面给出的数值。其中部分时间小于 240 米按 2880 米/秒传播所需的时间，与题设边长及传播速度之间存在需要说明的一致性问题。题面未附更正，不能未经说明就替换这些数据或改动单位。

== 附件与来源 ==

[https://www.mcm.edu.cn/upload_cn/node/1/SkAh1A7Q6f2dd01e58aa621f920e79f45cd5d255.pdf 官方1992—2000年题目汇编PDF]。本题见汇编第21页。

来源：[https://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/616c965be296e1e56d58bb31cb242ac2.html 全国大学生数学建模竞赛官方发布页]。核对日期：2026年9月22日。

[[分类:国赛赛题]]