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'''2010年国赛A题：储油罐的变位识别与罐容表标定'''是2010年全国大学生数学建模竞赛的A题。

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== 油位与罐容表 ==

加油站的地下储油罐配有流量计、油位计及油位计量管理系统。罐容表记录油位高度与储油量的对应关系，系统据此将测得的高度换算成油量。地基变形等原因可能使罐体纵向倾斜或横向偏转，原先标定的对应关系因而改变。本题要求识别这种变位，并重新标定罐容表。

== 两种罐体的几何条件 ==

实际储油罐由一个圆柱形主体和两端的球冠组成，横截面直径为 3 米。沿罐体轴向，从左端到右端依次是：左球冠深 1 米、圆柱起点至探针位置 2 米、探针位置至圆柱末端 6 米、右球冠深 1 米。因此圆柱段为 8 米，两端在内的总长为 10 米。油浮子沿油位探针移动；无变位时，油位高度由探针所在处的罐底量至油面。

[[File:Gezhi-contest-figures-2010-national-A-tank-1.png|frame|center|alt=原题图1：实际储油罐的正面尺寸与油位探测装置。|原题图1：实际储油罐的正面尺寸与油位探测装置。 来源：cumcm2010A.pdf第1页。]]

纵向倾斜角 <math>\alpha</math> 描述罐体轴向相对水平线的倾斜；横向偏转角 <math>\beta</math> 是正截面中探针方向相对地平线垂直线的偏转。横向转动不改变圆截面的形状，但会改变探针与油面、罐底的位置关系。

[[File:Gezhi-contest-figures-2010-national-A-tank-2.png|frame|center|alt=原题图2：储油罐纵向倾斜及角度α。|原题图2：储油罐纵向倾斜及角度α。 来源：cumcm2010A.pdf第2页。]]

[[File:Gezhi-contest-figures-2010-national-A-tank-3.png|frame|center|alt=原题图3：横向偏转前后截面及角度β。|原题图3：横向偏转前后截面及角度β。 来源：cumcm2010A.pdf第3页。]]

实验用的小罐是两端平头的椭圆柱体，椭圆截面的水平宽为 1.78 米，竖直高为 1.2 米；轴向长为 2.45 米，探针距一端 0.4 米、距另一端 2.05 米。原图这一后一段标成“2.05mcm”，末尾单位重复；结合相邻米制尺寸按 2.05 米记录，保留这一原图文字差异。

[[File:Gezhi-contest-figures-2010-national-A-tank-4.png|frame|center|alt=原题图4：小椭圆柱油罐的形状、探针位置与尺寸。|原题图4：小椭圆柱油罐的形状、探针位置与尺寸。 来源：cumcm2010A.pdf第4页。]]

== 问题一：小罐实验 ==

附件 1 给出无变位及仅发生纵向倾斜 <math>\alpha=4.1^\circ</math> 时的进油、出油实验。要求建立模型研究罐体变位如何改变罐容表，并给出变位后油位高度每隔 1 厘米的罐容表标定值。

附件 1 分为“无变位进油”“无变位出油”“倾斜变位进油”“倾斜变位出油”四张表。字段包括流水号、油罐号、累加进油量或出油量（升）、油位高度（毫米）、采集时间和说明。无变位进油的初始油量为 262 升，倾斜进油的初始油量为 215 升。表中进油量是逐次加入量的累加值，出油量是逐次抽出量的累加值；高度对应完成该次进油或出油后的读数。

== 问题二：实际罐体识别与标定 ==

对上述圆柱加球冠的实际罐体，建立储油量、油位高度、纵向倾斜角 <math>\alpha</math> 与横向偏转角 <math>\beta</math> 的一般关系。利用附件 2 在罐体变位后实际进油、出油过程中采集的数据，确定两个变位参数，并给出油位高度每隔 10 厘米的罐容表。还须利用附件 2 的检测数据检验模型正确性和方法可靠性。

附件 2 的字段为流水号、油罐号、进油量（升）、出油量（升）、显示油高（毫米）、显示油量容积（升）、采集时间和备注。此处出油量为加油机在各时段的出油量 <math>v_i</math>；显示油高 <math>h_i</math> 是该次进出油后的读数；显示油量 <math>V_i</math> 则是管理系统依据当时显示高度给出的储油量。该系统显示量与待重新标定的真实罐容关系不能直接混作同一项数据。

== 原题、附件与来源 ==

* [https://www.mcm.edu.cn/upload_cn/node/70/rd4LEPmmd1095c70a7fb9d0898a08495837d8c93.rar 下载官方年度题目与附件包（RAR）]，查找A题及其附件目录。

来源：[https://www.mcm.edu.cn/html_cn/node/d5ae730f57dea3208cae73f7635aeee8.html 全国大学生数学建模竞赛2010年官方发布页]。核对日期：2026年9月22日。

[[分类:国赛赛题]]