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'''2012年国赛B题：太阳能小屋的设计'''是2012年全国大学生数学建模竞赛的B题。

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== 小屋发电与评价目标 ==

在小屋屋顶和外墙铺设光伏组件，将产生的直流电经逆变器转换为家庭使用的交流电，剩余电量送入电网。题目研究组件型号、排布、安装方向、倾角和逆变器配套之间的关系。

三个问题都要求全年光伏发电总量尽可能大、单位发电量费用尽可能小，并计算 35 年组件寿命期内的总发电量、经济效益及投资回收年限。民用电价按题设 0.5 元/kWh 计算。每问均须提交各外表面的组件分组阵列图、串并联连接示意图，以及分组容量和所配逆变器规格列表。

== 三个问题 ==

# 利用山西大同气象数据，在给定小屋的部分外表面采用贴附安装。选择光伏组件，确定组件分组数量和容量，并选配逆变器容量与数量。
# 改用架空安装方式，考虑组件朝向及倾角的影响，重新完成第一问。
# 按下述建筑要求，为大同重新设计小屋，画出外形，优化外表面光伏铺设和分组连接，选配逆变器，并计算相应结果。

== 给定小屋的外形和尺寸 ==

给定小屋长 10100 毫米、宽 7100 毫米，立面低处高 3200 毫米，最高处 4400 毫米。两坡对应的水平分段为 6400 和 700 毫米，高差均为 1200 毫米。门窗及屋顶开口的位置、大小也是可铺设表面的条件，六张原始视图如下，标注单位均为毫米。

[[File:Gezhi-contest-2012-B-house-east.jpg|frame|center|alt=2012年国赛B题给定小屋东立面，含全部官方尺寸标注|附件2：东立面。尺寸及开口位置为已知条件。]]

[[File:Gezhi-contest-2012-B-house-south.jpg|frame|center|alt=2012年国赛B题给定小屋南立面，含全部官方尺寸标注|附件2：南立面。尺寸及开口位置为已知条件。]]

[[File:Gezhi-contest-2012-B-house-west.jpg|frame|center|alt=2012年国赛B题给定小屋西立面，含全部官方尺寸标注|附件2：西立面。尺寸及开口位置为已知条件。]]

[[File:Gezhi-contest-2012-B-house-north.jpg|frame|center|alt=2012年国赛B题给定小屋北立面，含全部官方尺寸标注|附件2：北立面。尺寸及开口位置为已知条件。]]

[[File:Gezhi-contest-2012-B-house-top.jpg|frame|center|alt=2012年国赛B题给定小屋顶视图，含全部官方尺寸标注|附件2：顶视图。尺寸及开口位置为已知条件。]]

[[File:Gezhi-contest-2012-B-house-perspective.jpg|frame|center|alt=2012年国赛B题给定小屋透视图，含全部官方尺寸标注|附件2：透视图。尺寸及开口位置为已知条件。]]

== 分组连接及启动条件 ==

* 同一表面可使用不止一种型号；只有相同型号的组件允许串联，不同型号不能串联。串联会叠加电压与功率。
* 串联组件可再并联，但并联各组的端电压相差不得超过 10%。一组或多组串联支路并联后形成分组阵列，总功率为全部组件功率之和。同阵列应尽量具有相同朝向、倾角等太阳辐射条件。
* 不同外表面的组件，即使型号相同，也不能互相串联或并联。
* 阵列端电压应在逆变器允许的直流输入范围内，低于下限则逆变器停止工作，对应时段不计发电。附件允许用表面辐照阈值简化判断：单晶硅、多晶硅启动阈值为至少 80 W/m²，薄膜组件为至少 30 W/m²。
* 阵列最大功率不能超过逆变器额定容量，所选逆变器容量须不小于对应组件分组安装容量。

附件的连接图还用同型号、单块参数 <math>(V_1,W_1)</math> 作说明：3 块串联的一串为 <math>(3V_1,3W_1)</math>；三条这种串联支路并联为 <math>(3V_1,9W_1)</math>；两条每串 6 块的支路并联为 <math>(6V_1,12W_1)</math>。这些是附件所给连接关系示例，不是三问的铺设方案。

[[File:Contest-original-2012-national-B-series-parallel.svg|frame|center|alt=原题附件1图1：光伏组件串联、并联及串并联的三种连接示意。|原题附件1图1：光伏组件串联、并联及串并联的三种连接示意。 来源：cumcm2012B附件1_光伏电池组件的分组及逆变器选择的要求.pdf第2页。]]

== 光伏组件参数与价格 ==

A 为单晶硅，B 为多晶硅，C 为非晶硅薄膜。对应价格分别为 14.9、12.5、4.8 元/Wp。额定功率在辐照强度 1000 W/m²、光谱 AM1.5、温度 25℃ 条件下测试；实际发电量计算可忽略 AM 值影响，使用组件表面接受的总辐射量。尺寸依原表列出三个方向，单位为毫米；效率列以百分数表示。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="24种光伏组件参数" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 型号 !! 功率（W） !! 尺寸（mm） !! 开路电压（V） !! 短路电流（A） !! 转换效率（%）
|-
| A1 || 215 || 1580×808×40 || 46.1 || 5.79 || 16.84
|-
| A2 || 325 || 1956×991×45 || 46.91 || 8.93 || 16.64
|-
| A3 || 200 || 1580×808×35 || 46.1 || 5.5 || 18.70
|-
| A4 || 270 || 1651×992×40 || 38.1 || 8.9 || 16.50
|-
| A5 || 245 || 1650×991×40 || 37.73 || 8.58 || 14.98
|-
| A6 || 295 || 1956×991×45 || 45.92 || 8.64 || 15.11
|-
| B1 || 265 || 1650×991×40 || 37.91 || 9.01 || 16.21
|-
| B2 || 320 || 1956×991×45 || 45.98 || 8.89 || 16.39
|-
| B3 || 210 || 1482×992×35 || 33.6 || 8.33 || 15.98
|-
| B4 || 240 || 1640×992×50 || 36.9 || 8.46 || 14.80
|-
| B5 || 280 || 1956×992×50 || 44.8 || 8.33 || 15.98
|-
| B6 || 295 || 1956×992×50 || 45.1 || 8.57 || 15.20
|-
| B7 || 250 || 1668×1000×40 || 37.83 || 8.75 || 14.99
|-
| C1 || 100 || 1300×1100×15 || 138 || 1.22 || 6.99
|-
| C2 || 58 || 1321×711×20 || 62.3 || 1.54 || 6.17
|-
| C3 || 100 || 1414×1114×35 || 99 || 1.65 || 6.35
|-
| C4 || 90 || 1400×1100×22 || 115.4 || 1.26 || 5.84
|-
| C5 || 100 || 1400×1100×25 || 100 || 1.64 || 6.49
|-
| C6 || 4 || 310×355×16.7 || 26.7 || 0.35 || 3.63
|-
| C7 || 4 || 615×180×16.7 || 12.6 || 0.7 || 3.63
|-
| C8 || 8 || 615×355×16.7 || 26.7 || 0.7 || 3.66
|-
| C9 || 12 || 920×355×16.7 || 26.7 || 1.05 || 3.66
|-
| C10 || 12 || 818×355×16.7 || 26.7 || 0.9 || 4.13
|-
| C11 || 50 || 1645×712×27 || 55 || 1.75 || 4.27
|}
</div>

附件 3 对晶硅组件另列弱光说明：辐照强度低于 200 W/m² 时，转换效率低于所列转换效率的 5%；薄膜组件在 200 W/m² 下的性能较 1000 W/m² 提高 1%。所有型号在 0—10 年按 100% 效率折算，10—25 年按 90%，25 年后按 80%；35 年总发电量需包含这项题设衰减。

== 逆变器参数 ==

原题背景概括为家庭 220 V 交流电，具体产品表中 SN17、SN18 的额定交流电压为 230 V，以下保留各型号原值。效率均对应 80% 阻性负载。为便于阅读，电气参数和外形、价格分为两表，均按型号对应。

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="18种逆变器电气参数" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 型号 !! 额定直流电压（V） !! 额定直流电流（A） !! 允许输入电压（V） !! 交流电压/频率（V/Hz） !! 额定交流电流（A） !! 额定功率（kW） !! 效率
|-
| SN1 || DC24 || 25 || 21～32 || AC220/50 || 2.2 || 0.4 || 84%
|-
| SN2 || DC24 || 50 || 21～32 || AC220/50 || 4.5 || 0.8 || 84%
|-
| SN3 || DC48 || 24 || 42～64 || AC220/50 || 4.5 || 0.8 || 86%
|-
| SN4 || DC48 || 48 || 42～64 || AC220/50 || 9.0 || 1.6 || 86%
|-
| SN5 || DC48 || 73 || 42～64 || AC220/50 || 13.6 || 2.4 || 86%
|-
| SN6 || DC48 || 115 || 42～64 || AC220/50 || 22.7 || 4 || 90%
|-
| SN7 || DC110 || 30 || 99～150 || AC220/50 || 13.6 || 2.4 || 90%
|-
| SN8 || DC110 || 51 || 99～150 || AC220/50 || 22.7 || 4 || 90%
|-
| SN9 || DC110 || 101 || 99～150 || AC220/50 || 45.5 || 8 || 92%
|-
| SN10 || DC110 || 202 || 99～150 || AC220/50 || 91 || 16 || 92%
|-
| SN11 || DC220 || 5 || 180～300 || AC220/50 || 4.5 || 0.8 || 94%
|-
| SN12 || DC220 || 10 || 180～300 || AC220/50 || 9.1 || 1.6 || 94%
|-
| SN13 || DC220 || 15.2 || 180～300 || AC220/50 || 13.6 || 2.4 || 94%
|-
| SN14 || DC220 || 25.3 || 180～300 || AC220/50 || 22.7 || 4.0 || 94%
|-
| SN15 || DC220 || 37.9 || 180～300 || AC220/50 || 34.1 || 6.0 || 94%
|-
| SN16 || DC220 || 48.4 || 180～300 || AC220/50 || 45.5 || 8 || 94%
|-
| SN17 || DC650 || 40 || 250～800 || AC230/50 || 15 || 10 || 97.3%
|-
| SN18 || DC650 || 40 || 330～800 || AC230/50 || 18 || 12 || 97.3%
|}
</div>

<div class="math-table-scroll" role="region" aria-label="18种逆变器环境尺寸及价格" tabindex="0">
{| class="wikitable"
! 型号 !! 环境温度（℃） !! 宽×高×深（mm） !! 参考价格（元/台）
|-
| SN1 || -20～50 || 200×365×395 || 2900
|-
| SN2 || -20～50 || 200×365×395 || 4500
|-
| SN3 || -20～50 || 200×365×395 || 4500
|-
| SN4 || -20～50 || 200×365×395 || 6900
|-
| SN5 || -20～50 || 400×750×470 || 10200
|-
| SN6 || -20～50 || 400×750×47 || 15000
|-
| SN7 || -20～50 || 458×400×470 || 10200
|-
| SN8 || -20～50 || 400×750×470 || 15300
|-
| SN9 || -20～50 || 800×1800×600 || 35000
|-
| SN10 || -20～50 || 800×2260×600 || 63800
|-
| SN11 || -20～50 || 205×365×425 || 4500
|-
| SN12 || -20～50 || 205×365×425 || 6900
|-
| SN13 || -20～50 || 205×365×425 || 10300
|-
| SN14 || -20～50 || 400×740×470 || 15300
|-
| SN15 || -20～50 || 400×740×470 || 22000
|-
| SN16 || -20～50 || 400×750×470 || 35000
|-
| SN17 || -25～60 || 550×650×250 || 43750
|-
| SN18 || -25～60 || 550×650×250 || 54700
|}
</div>

SN6 的尺寸在原参数表中确为“400×750×47”，其他相近型号多为深 470 毫米；此处保留原表数值，没有自行补零。

== 气象数据与附件给出的角度关系 ==

附件 4 给出大同典型气象年的逐小时资料，包含水平面总辐射、水平面散射、法向直射以及东、南、西、北四方向总辐射强度，单位均为 W/m²。数据库标注时间比实际时间早 1 小时，例如表中 11:00 对应实际 12:00；不能忽略这个原题特别说明。

附件 6 是供参考的概念资料，给定大同经度 113°18′、纬度约 40.1°。太阳时 <math>t_s</math> 以太阳到达正南时为 12 点；时角 <math>\omega</math> 上午为负、下午为正，以度表示为

:<math>\omega=15(t_s-12).</math>

日期序号为 <math>n</math>（1 月 1 日为 1、平年 3 月 22 日为 81），太阳赤纬近似式为

:<math>\delta=23.45\sin\left(\frac{2\pi(284+n)}{365}\right)</math>（度）。

令 <math>\phi</math> 为地理纬度，太阳高度角 <math>\alpha</math> 满足

:<math>\sin\alpha=\sin\phi\sin\delta+\cos\phi\cos\delta\cos\omega.</math>

太阳方位角 <math>A</math> 从北方沿地平线顺时针量。附件给出的关系为

:<math>\sin A=-\frac{\sin\omega\cos\delta}{\cos\alpha},</math>
:<math>\cos A=\frac{\sin\delta\cos\phi-\cos\omega\cos\delta\sin\phi}{\cos\alpha}
=\frac{\sin\delta-\sin\alpha\sin\phi}{\cos\alpha\cos\phi}.</math>

附件提醒应根据上午、下午选择角的象限，不能把反三角函数的一个主值直接当作完整方位。上述公式属于原题参考材料，并非对铺设方案的解答。

== 第三问的建筑约束 ==

* 屋顶最高点离地不超过 5.4 米，室内使用空间的最低净空高度至少 2.8 米。
* 建筑总投影面积含挑檐和雨棚，不超过 74 平方米。
* 建筑平面体型的长边不超过 15 米，最短边至少 3 米。
* 窗地比，即开窗面积与房间地板面积之比，至少为 0.2，可不区分朝向。
* 窗墙比按开窗面积与该朝向墙面积之比计：南墙不超过 0.50，东、西墙不超过 0.35，北墙不超过 0.30。
* 朝向可按设计需要选择，允许偏离正南。

原年度包中 B 题共有 7 项附件：分组连接要求、六幅外形图、组件参数价格、气象资料、逆变器参数价格、相关概念、建筑要求。数值表和尺寸图共同构成题目条件。

== 原题、附件与来源 ==

* [https://www.mcm.edu.cn/problem/2012/cumcm2012problems.rar 下载官方年度题目与附件包（RAR）]，查找B题及其附件目录。

来源：[https://www.mcm.edu.cn/problem/2012/2012.html 全国大学生数学建模竞赛2012年官方发布页]。核对日期：2026年9月22日。

[[分类:国赛赛题]]