2002年国赛B题：彩票中的数学

2002年国赛B题：彩票中的数学是2002年全国大学生数学建模竞赛的B题。

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两类彩票的选号和开奖规则

本题比较当时的传统型与乐透型彩票方案，并研究奖级和奖金设置。以下均为题设规则，不是现行彩票规则说明。

传统型：10 选 6+1

开奖先在六组 0—9 号码球中各摇出一个基本号码，再从 0—4 号码球中摇出一个特别号码。投注一注时，依次选六个 0—9 的基本号码，可重复，并另选一个 0—4 的特别号码。基本号码的位置和顺序影响奖级。

若中奖号码为 abcdef+g，X 表示对应位置未命中，奖级模式如下。低等级中列出的连续匹配模式按位置区分，不是任意挑选相同数量的数字就获奖。

奖级	基本号码模式	特别号码条件
一	abcdef	g
二	abcdef	未中 g
三	abcdeX；Xbcdef	不另要求
四	abcdXX；XbcdeX；XXcdef	不另要求
五	abcXXX；XbcdXX；XXcdeX；XXXdef	不另要求
六	abXXXX；XbcXXX；XXcdXX；XXXdeX；XXXXef	不另要求

乐透型：33 选 7 与 36 选 6+1

33 选 7：从 01—33 中逐个摇出 7 个基本号码，再从剩余 26 个号码中摇出 1 个特别号码；投注者从 33 个号码中选 7 个，不重复。

36 选 6+1：从 01—36 中逐个摇出 6 个基本号码，再从剩余 30 个号码中摇出 1 个特别号码；投注者仍从全部 36 个号码中选择 7 个，不重复。

这两种玩法不计号码次序，奖级由命中基本号码与特别号码的情况决定：

奖级	33选7	36选6+1
一	7个基本号	6个基本号＋特别号
二	6个基本号＋特别号	6个基本号
三	6个基本号	5个基本号＋特别号
四	5个基本号＋特别号	5个基本号
五	5个基本号	4个基本号＋特别号
六	4个基本号＋特别号	4个基本号
七	4个基本号	3个基本号＋特别号

奖金规则及 29 种方案

每注 2 元，总奖金一般为销售总额的 50%。同一注获得较高等级奖后，不再兼得较低等级奖。通常一、二、三等奖为高项奖，按比例分配，后续低项奖为固定金额。一等奖每注保底 60 万元，封顶 500 万元。

各高项奖的分配总额按同一规则计算。记当期销售总额为 $S$、总奖金比例为 $r$、低项奖总额为 $L$、该高项奖的分配比例为 $p$，则该项的分配总额为 $(Sr-L)p$。

下表保留原题各销售方案。百分数表示分配比例，无百分号的奖金额单位为元；“—”表示该栏原表未设置数额，不能当作漏写的零。第 23 种是无特别号的例外，二、三等奖栏给出的 2000、20 为固定金额。

序号	玩法	一等	二等	三等	四等（元）	五等（元）	六等（元）	七等（元）	备注
1	6+1/10	50%	20%	30%	50	—	—	—	按序
2	6+1/10	60%	20%	20%	300	20	5	—	按序
3	6+1/10	65%	15%	20%	300	20	5	—	按序
4	6+1/10	70%	15%	15%	300	20	5	—	按序
5	7/29	60%	20%	20%	300	30	5	—	—
6	6+1/29	60%	25%	15%	200	20	5	—	—
7	7/30	65%	15%	20%	500	50	15	5	—
8	7/30	70%	10%	20%	200	50	10	5	—
9	7/30	75%	10%	15%	200	30	10	5	—
10	7/31	60%	15%	25%	500	50	20	10	—
11	7/31	75%	10%	15%	320	30	5	—	—
12	7/32	65%	15%	20%	500	50	10	—	—
13	7/32	70%	10%	20%	500	50	10	—	—
14	7/32	75%	10%	15%	500	50	10	—	—
15	7/33	70%	10%	20%	600	60	6	—	—
16	7/33	75%	10%	15%	500	50	10	5	—
17	7/34	65%	15%	20%	500	30	6	—	—
18	7/34	68%	12%	20%	500	50	10	2	—
19	7/35	70%	15%	15%	300	50	5	—	—
20	7/35	70%	10%	20%	500	100	30	5	—
21	7/35	75%	10%	15%	1000	100	50	5	—
22	7/35	80%	10%	10%	200	50	20	5	—
23	7/35	100%	2000	20	4	2	—	—	无特别号
24	6+1/36	75%	10%	15%	500	100	10	5	—
25	6+1/36	80%	10%	10%	500	100	10	—	—
26	7/36	70%	10%	20%	500	50	10	5	—
27	7/37	70%	15%	15%	1500	100	50	—	—
28	6/40	82%	10%	8%	200	10	1	—	—
29	5/60	60%	20%	20%	300	30	—	—	—

需要完成的三项任务

1. 综合分析各奖级的出现可能性、奖项和奖金的设置、对购彩者的吸引力，评价不同方案的合理性。
2. 设计一个认为更好的方案，给出相应算法，并向彩票管理部门提出建议。
3. 写一篇面向报纸读者的短文，供购彩者参考。

当年答卷要求

使用白色 A4 纸，第一页留空供组委会编号；论文题目、摘要放在第二页，正文从第三页开始。全文不得有能显示答题人身份的标志，原题特别提醒重视摘要。

附件与来源

AB2002.DOC。原题文件：AB2002.DOC 的 B题及表一至表三。

来源：全国大学生数学建模竞赛官方发布页。核对日期：2026年9月22日。