|
|
| 第1行： |
第1行： |
| '''高中数学选择性必修第一册学习路径'''沿三条线展开：先用空间向量处理点、线、面，再用平面坐标研究直线与圆，最后从距离条件认识椭圆、双曲线和抛物线。每条线的计算都能回到一个图、一组坐标和一个可核对的等式。读者可以跳到熟悉的章节，但碰到不明确的“方向”“距离”“焦点”时，宜沿链接补上前一步。
| | #REDIRECT [[高中数学学习路径]] |
| | |
| == 空间向量与立体几何 ==
| |
| 从[[空间直角坐标系与向量坐标]]起步：点 <math>A=(1,2,0)</math>、<math>B=(4,1,3)</math> 的位移是 <math>(3,-1,3)</math>，长度为 <math>\sqrt{19}</math>。先把“点的坐标”和“从一个点到另一个点的向量”分开，再读[[空间向量的线性运算]]中的首尾相接和数乘。[[空间向量基本定理]]解释三条不共面的方向为何能唯一表示空间中任意向量；[[向量的内积]]给长度、投影与垂直关系。
| |
| | |
| [[空间直线与平面的向量方程]]把直线写成“点＋参数×方向”，把平面写成“点到固定点的位移与法向量垂直”。在[[空间中的距离与夹角]]里，把点到平面的斜位移投影到法向量，得到真正的最短距离；线线、线面与面面角各取不同方向向量，定义不能混用。[[空间点线面的位置关系]]、[[空间中的平行关系]]和[[空间中的垂直关系]]仍是画图和理解条件的几何入口。
| |
| | |
| '''检验。'''直线 <math>(1,0,2)+t(2,1,-1)</math> 与平面 <math>x-2y+2z=0</math> 的交点是什么？代入可得 <math>5-2t=0</math>，故 <math>t=5/2</math>，交点 <math>(6,5/2,-1/2)</math>；三坐标代回平面式恰为零。
| |
| | |
| == 直线和圆的方程 ==
| |
| [[直线的倾斜角与斜率]]区分角度与变化率，尤其处理竖直线斜率不存在的情形。[[直线的方程]]从点斜式走到一般式 <math>Ax+By+C=0</math>；后者通过法向量 <math>(A,B)</math> 同时容纳竖直线。[[直线的交点与距离]]一方面联立方程找共同点，另一方面用法向投影导出点线距和两平行线距离。
| |
| | |
| [[圆的方程]]把到圆心的固定距离写成两个平方之和；对一般方程配方时，还要检查右边是否为正。[[直线与圆、圆与圆的位置关系]]先比较圆心到直线的垂距或两圆心的距离与半径，再联立求具体交点。距离判据解释交点数量，代数方程负责给出坐标。
| |
| | |
| '''检验。'''圆 <math>x^2+y^2=25</math> 与直线 <math>y=3</math> 相交几次？圆心到线的距离 3 小于半径 5，所以有两点；代入求得 <math>(-4,3),(4,3)</math>，与几何判断一致。
| |
| | |
| == 圆锥曲线的方程 ==
| |
| [[圆锥曲线]]先并排比较三种距离条件。[[椭圆]]固定两焦距之和，推导 <math>a^2=b^2+c^2</math>；[[双曲线]]固定两焦距之差，推导 <math>c^2=a^2+b^2</math>，再用共轭式证明渐近线真的被曲线逼近；[[抛物线]]让点到焦点与准线等距，由此求出标准方程，并把二次函数的配方同焦点、准线接起来。[[圆锥曲线的反射性质]]作为进阶阅读，用切线处的法向量解释光线方向；理解前三种距离定义不依赖这一节的微分证明。
| |
| | |
| '''检验。'''焦点 <math>(\pm5,0)</math>、距离差为 6 的曲线是什么？先求 <math>a=3,c=5,b^2=25-9=16</math>，得 <math>x^2/9-y^2/16=1</math>，它有左右两支，渐近线 <math>y=\pm4x/3</math>。若把差错写成和，就会求出不可能的“半短轴平方为负”的椭圆。
| |
| | |
| == 资料与阅读 ==
| |
| * [https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/2-2-vectors-in-three-dimensions OpenStax，Calculus Volume 3，§2.2]、[https://openstax.org/books/calculus-volume-3/pages/2-5-equations-of-lines-and-planes-in-space §2.5]：空间向量与点线面。
| |
| * [https://openstax.org/books/precalculus-2e/pages/10-key-concepts OpenStax，Precalculus 2e，第十章概念索引]：椭圆、双曲线、抛物线。
| |
| * [[高中数学必修第二册学习路径]]提供平面向量和立体几何基础。这里的词条、算例、文字和图形独立编写，不移用目录所参照教材的原文或插图。
| |
| [[分类:高中数学]]
| |
格致开物MATHWIKI
登录