1993年国赛A题：非线性交调的频率设计

1993年国赛A题：非线性交调的频率设计是1993年全国大学生数学建模竞赛的A题。

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非线性系统与交调

非线性器件可能在输出中产生输入所没有的频率。例如，关系$y(t)=u(t)+u^2(t)$作用于$u(t)=\cos (2\pi f_{1}t)+\cos (2\pi f_{2}t)$时，会出现$2f_1$、$f_1\pm f_2$等新频率。题目把这些新频率成分称为交调；它们接近接收频率时会产生干扰。

某SCS非线性系统的输入—输出数据如下。

输入u	输出y
0	0
5	2.25
10	6.80
20	20.15
30	35.70
40	56.40
50	75.10
60	87.85
80	98.50

实际输入为

$$u(t)=25\cos (2\pi f_{1}t)+10\cos (2\pi f_{2}t)+45\cos (2\pi f_{3}t).$$

频率设计的五项条件

1. 频率范围为$36\le f_1\le 40$、$41\le f_2\le 50$、$46\le f_3\le 55$。
2. 每个$f_i$的接收带为$f_i\pm 5$所界定的范围，交调不得落在接收带内。
3. 设原频率$f_i$在输出中的振幅为$B_i$，某交调频率$f_n$的振幅为$C_n$，按下面的式子定义信噪比。若该交调位于$f_n=f_i\pm 6$，相应信噪比必须大于10分贝。
4. 任一$f_i$不能处在另一个$f_j$的接收带内，其中$i\ne j$。
5. 三个频率只取整数。交调只研究二阶$f_i\pm f_j$与三阶$f_i\pm f_j\pm f_k$，各下标取1、2、3。

$$\mathrm{S}\mathrm{N}\mathrm{R}=10{\log }_{10}\frac{B_i^2}{C_n^2}\text{（分贝）}.$$

原题接收带、信号振幅与交调振幅示意图。 来源：赛题_中文1992_2000.pdf第2页。

要求

按照上述系统数据和全部限制，设计输入频率$f_1,f_2,f_3$。

附件与来源

官方1992—2000年题目汇编PDF。本题见汇编第2页。

来源：全国大学生数学建模竞赛官方发布页。核对日期：2026年9月22日。