微分方程：修订间差异

2026年9月20日 (日) 00:33的版本

微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述一个量与其变化率之间的关系。只含一个自变量的称为常微分方程，涉及多个自变量及偏导数的称为偏微分方程。求解时需要找函数，而不仅是一个数。

方程、阶数与初始条件

方程中出现的最高阶导数决定阶数。例如 $y^{'} = k y$ 是一阶方程， $y^{″} + ω^{2} y = 0$ 是二阶方程。未知函数及其导数以一次形式出现、且彼此不相乘的方程称为线性方程；系数可以依赖自变量。

$y^{'} = k y$ 的解为 $y (t) = C e^{k t}$ ，常数 $C$ 需要由初始值决定。给定 $y (0) = y_{0}$ 后，得到 $y (t) = y_{0} e^{k t}$ 。方程描述演化规律，初始条件说明从哪里开始。

一个可验证的冷却模型

在环境温度恒为 $T_{a}$ 、冷却系数 $k > 0$ 近似恒定的模型中，牛顿冷却定律写为 $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{a}), T (0) = T_{0} .$ 令 $u = T - T_{a}$ ，就得到 $u^{'} = - k u$ ，因此 $T (t) = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) e^{- k t} .$ 代回去可直接检验：导数为 $- k (T_{0} - T_{a}) e^{- k t}$ ，正好等于右端，且 $t = 0$ 时恢复初始值。

温度从八十摄氏度指数下降，逐渐接近二十摄氏度的环境温度，欧拉法的离散点也画在图中 — 解析解逼近环境温度；步长 1 分钟的显式欧拉近似略低于解析曲线。

取教学参数 $T_{a} = 20$ 摄氏度、 $T_{0} = 80$ 摄氏度、 $k = 0.2$ 每分钟，则 5 分钟后 $T (5) = 20 + 60 e^{- 1} \approx 42.07$ 摄氏度。该理想模型只在 $t \to \infty$ 时达到环境温度，有限时间内始终留有温差；实际测量分辨率会使温差看起来已消失。

分离变量时不能丢失平衡解

对 $u^{'} = - k u$ ，若 $u \neq 0$ ，可分离为 $d u / u = - k d t$ ，积分得到指数解。但除以 $u$ 时暂时排除了 $u = 0$ ；必须单独检查，它正对应 $T (t) \equiv T_{a}$ 的平衡解。

更一般地，分离变量只适用于可写成 $y^{'} = g (t) h (y)$ 的方程，并应检查被除去因子的零点，而不是把每个一阶方程都强行分离。

初值是否总能确定唯一解

对 $y^{'} = f (t, y)$ ，一个常用的局部存在唯一性充分条件是：初始点附近 $f$ 连续，且对 $y$ 局部 Lipschitz 连续。不能仅凭“给了一个初始值”就保证唯一。

例如在 $t \geq 0$ 上，方程 $y^{'} = 2 \sqrt{| y |}$ 、 $y (0) = 0$ 既有零解，也有先保持为零、到任意时刻 $c \geq 0$ 才开始取 $y (t) = (t - c)^{2}$ 的解。右端在零附近不满足上述 Lipschitz 条件。

没有简单公式时采用数值法

显式欧拉法以步长 $h$ 迭代 $y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n}), t_{n + 1} = t_{n} + h .$ 冷却例中取 $h = 1$ 分钟，第一步得 $T_{1} = 80 - 0.2 (80 - 20) = 68$ ，解析值约为 69.12。该方法用局部切线代替真实曲线，误差会累积。

稳定性也限制步长。对温差方程，欧拉迭代为 $u_{n + 1} = (1 - k h) u_{n}$ ，要让误差随时间衰减需 $| 1 - k h | < 1$ ，即 $0 < k h < 2$ 。收敛、稳定与精度是不同问题；实际使用还应做步长细化比较，并检查模型参数和单位。

延伸阅读

Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》第 1 章：分离变量、线性方程、存在唯一性与数值方法。
导数 · 积分 · 欧拉公式 · 数学建模

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-微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述量与变化率之间的关系。
+微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述一个量与其变化率之间的关系。只含一个自变量的称为常微分方程，涉及多个自变量及偏导数的称为偏微分方程。求解时需要找函数，而不仅是一个数。
-== 核心表达 ==
+== 方程、阶数与初始条件 ==
-{{定义|内容=<math display="block">\frac{dy}{dt}=ky\quad\Longrightarrow\quad y(t)=Ce^{kt}</math>}}
+方程中出现的最高阶导数决定阶数。例如 <math>y'=ky</math> 是一阶方程，<math>y''+\omega^2y=0</math> 是二阶方程。未知函数及其导数以一次形式出现、且彼此不相乘的方程称为线性方程；系数可以依赖自变量。
-== 直觉与例子 ==
+<math>y'=ky</math> 的解为 <math>y(t)=Ce^{kt}</math>，常数 <math>C</math> 需要由初始值决定。给定 <math>y(0)=y_0</math> 后，得到 <math>y(t)=y_0e^{kt}</math>。方程描述演化规律，初始条件说明从哪里开始。
-当变化率与当前数量成正比时，就得到指数增长或衰减模型。常数 C 由初始条件确定，k 的正负决定增长或衰减。
-== 继续阅读 ==
+== 一个可验证的冷却模型 ==
-* [[导数]]
+在环境温度恒为 <math>T_a</math>、冷却系数 <math>k>0</math> 近似恒定的模型中，牛顿冷却定律写为
-* [[欧拉公式]]
+<math display="block">\frac{dT}{dt}=-k(T-T_a),\qquad T(0)=T_0.</math>
-* [[数学建模]]
+令 <math>u=T-T_a</math>，就得到 <math>u'=-ku</math>，因此
+<math display="block">T(t)=T_a+(T_0-T_a)e^{-kt}.</math>
+代回去可直接检验：导数为 <math>-k(T_0-T_a)e^{-kt}</math>，正好等于右端，且 <math>t=0</math> 时恢复初始值。
+[[File:Gezhi-ode-cooling.svg|frame|center|alt=温度从八十摄氏度指数下降，逐渐接近二十摄氏度的环境温度，欧拉法的离散点也画在图中|解析解逼近环境温度；步长 1 分钟的显式欧拉近似略低于解析曲线。]]
+取教学参数 <math>T_a=20</math> 摄氏度、<math>T_0=80</math> 摄氏度、<math>k=0.2</math> 每分钟，则 5 分钟后
+<math display="block">T(5)=20+60e^{-1}\approx42.07</math>
+摄氏度。该理想模型只在 <math>t\to\infty</math> 时达到环境温度，有限时间内始终留有温差；实际测量分辨率会使温差看起来已消失。
+== 分离变量时不能丢失平衡解 ==
+对 <math>u'=-ku</math>，若 <math>u\ne0</math>，可分离为 <math>du/u=-k\,dt</math>，积分得到指数解。但除以 <math>u</math> 时暂时排除了 <math>u=0</math>；必须单独检查，它正对应 <math>T(t)\equiv T_a</math> 的平衡解。
+更一般地，分离变量只适用于可写成 <math>y'=g(t)h(y)</math> 的方程，并应检查被除去因子的零点，而不是把每个一阶方程都强行分离。
+== 初值是否总能确定唯一解 ==
+对 <math>y'=f(t,y)</math>，一个常用的局部存在唯一性充分条件是：初始点附近 <math>f</math> 连续，且对 <math>y</math> 局部 Lipschitz 连续。不能仅凭“给了一个初始值”就保证唯一。
+例如在 <math>t\ge0</math> 上，方程 <math>y'=2\sqrt{|y|}</math>、<math>y(0)=0</math> 既有零解，也有先保持为零、到任意时刻 <math>c\ge0</math> 才开始取 <math>y(t)=(t-c)^2</math> 的解。右端在零附近不满足上述 Lipschitz 条件。
+== 没有简单公式时采用数值法 ==
+显式欧拉法以步长 <math>h</math> 迭代
+<math display="block">y_{n+1}=y_n+h f(t_n,y_n),\qquad t_{n+1}=t_n+h.</math>
+冷却例中取 <math>h=1</math> 分钟，第一步得 <math>T_1=80-0.2(80-20)=68</math>，解析值约为 69.12。该方法用局部切线代替真实曲线，误差会累积。
+稳定性也限制步长。对温差方程，欧拉迭代为 <math>u_{n+1}=(1-kh)u_n</math>，要让误差随时间衰减需 <math>|1-kh|<1</math>，即 <math>0<kh<2</math>。收敛、稳定与精度是不同问题；实际使用还应做步长细化比较，并检查模型参数和单位。
+== 延伸阅读 ==
+* [https://www.jirka.org/diffyqs/html/fo_chapter.html Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》第 1 章]：分离变量、线性方程、存在唯一性与数值方法。
+* [[导数]] · [[积分]] · [[欧拉公式]] · [[数学建模]]
 [[分类:应用与建模]]