法拉第电磁感应定律

闭合回路穿过的磁通量改变时，会出现感应电动势。法拉第电磁感应定律用磁通量的变化率给出其大小；负号按约定的回路方向表示感应作用对磁通量改变的抵抗，即楞次定律。对 $N$ 匝相同线圈， $$ℰ=-N\frac{d{\Phi }_B}{dt},{\Phi }_B={\int }_S\overrightarrow{B}\cdot d\overrightarrow{A}.$$ ${\Phi }_B$ 的单位是韦伯（$\mathrm{W}\mathrm{b}$），$ℰ$ 的单位是伏特。先选定面积法向，磁通量的正负才有意义；回路正向与面积法向须按右手规则配套。负号不能简单理解为“电动势的数值一定为负”。

一根滑动的导体棒

两条平行导轨相距 $L$，右端导体棒向右以速度 $v$ 滑动，与左端电阻构成闭合回路。匀强磁场 $B$ 垂直纸面向里；令回路面积 $A=Lx$，则 $|d{\Phi }_B/dt|=BLdx/dt=BLv$，所以电动势大小 $|ℰ|=BLv$。棒右移使向里的磁通量增加，感应电流应产生向外的磁场，故从纸面看电流沿逆时针方向，棒中电流向上。

面积增大使向里磁通量增加；回路电流逆时针，产生向外磁场来抵抗这一变化。

取 $B=0.50\mathrm{T},L=0.20\mathrm{m},v=3.0\mathrm{m}/\mathrm{s}$，总电阻 $R=2.0\Omega$，忽略导轨与棒电阻。电动势大小 $0.30\mathrm{V}$，电流 $I=ℰ/R=0.15\mathrm{A}$。棒受磁场力大小 $F=BIL=0.015\mathrm{N}$，方向向左。要维持棒匀速右移，外力必须提供同样大小的向右力；机械功率 $Fv=0.045\mathrm{W}$，与电阻发热功率 $I^{2}R=0.045\mathrm{W}$ 相等。

与静电电势的区别

导体棒中的电荷受到磁场中的运动效应，回路出现电动势；在固定回路中，变化磁场也能产生环流电场。后一种电场沿闭合路径的环量不为零，不能用单值的静电势差沿整圈相加代替感应电动势。本例的 $BLv$ 已经用磁通量变化推得；能量核算说明它怎样与推动导体棒的外力联系。

再看回路不动、磁场变化的情形。若 $N=100$ 匝线圈，每匝面积 $A=0.010{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$，磁场垂直线圈并在 $0.50\mathrm{s}$ 内从 $0$ 均匀增至 $0.20\mathrm{T}$，平均感应电动势的大小为 $$|ℰ|=\frac{100(0.010)(0.20)}{0.50}\mathrm{V}=0.40\mathrm{V}.$$ 若磁场变化不是匀速，这个数只代表该时段的平均值；每一时刻应看 $|-Nd{\Phi }_B/dt|$。线圈没有移动，仍会感应，说明“切割磁感线”只是某些装置中的一种做法，不是定律本身。

参考资料

• OpenStax《University Physics》13.1，法拉第定律与磁通量。
• OpenStax《University Physics》13.2，感应电流方向与楞次定律。