1993年国赛A题：非线性交调的频率设计

1993年国赛A题：非线性交调的频率设计是1993年全国大学生数学建模竞赛的A题。

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非线性系统与交调

非线性器件可能在输出中产生输入所没有的频率。例如，关系 $y (t) = u (t) + u^{2} (t)$ 作用于 $u (t) = \cos (2 π f_{1} t) + \cos (2 π f_{2} t)$ 时，会出现 $2 f_{1}$ 、 $f_{1} \pm f_{2}$ 等新频率。题目把这些新频率成分称为交调；它们接近接收频率时会产生干扰。

某SCS非线性系统的输入—输出数据如下。

输入u	输出y
0	0
5	2.25
10	6.80
20	20.15
30	35.70
40	56.40
50	75.10
60	87.85
80	98.50

实际输入为

$u (t) = 25 \cos (2 π f_{1} t) + 10 \cos (2 π f_{2} t) + 45 \cos (2 π f_{3} t) .$

频率设计的五项条件

频率范围为 $36 \leq f_{1} \leq 40$ 、 $41 \leq f_{2} \leq 50$ 、 $46 \leq f_{3} \leq 55$ 。
每个 $f_{i}$ 的接收带为 $f_{i} \pm 5$ 所界定的范围，交调不得落在接收带内。
设原频率 $f_{i}$ 在输出中的振幅为 $B_{i}$ ，某交调频率 $f_{n}$ 的振幅为 $C_{n}$ ，按下面的式子定义信噪比。若该交调位于 $f_{n} = f_{i} \pm 6$ ，相应信噪比必须大于10分贝。
任一 $f_{i}$ 不能处在另一个 $f_{j}$ 的接收带内，其中 $i \neq j$ 。
三个频率只取整数。交调只研究二阶 $f_{i} \pm f_{j}$ 与三阶 $f_{i} \pm f_{j} \pm f_{k}$ ，各下标取1、2、3。

$S N R = 10 \log_{10} \frac{B_{i}^{2}}{C_{n}^{2}} （分贝） .$

原题接收带、信号振幅与交调振幅示意图。来源：赛题_中文1992_2000.pdf第2页。

要求

按照上述系统数据和全部限制，设计输入频率 $f_{1}, f_{2}, f_{3}$ 。

附件与来源

官方1992—2000年题目汇编PDF。本题见汇编第2页。

来源：全国大学生数学建模竞赛官方发布页。核对日期：2026年9月22日。