2000年国赛D题：空洞探测

2000年国赛D题：空洞探测是2000年全国大学生数学建模竞赛的D题。

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平板与测量布置

一块均匀介质平板内有若干充满空气的空洞。希望利用弹性波在介质与空气中传播速度不同这一条件，依据波源到接收器的传播时间，确定空洞位置。

平板为 $240 米 \times 240 米$ 的正方形。按图的方向，A 在左下、B 在右下、C 在右上、D 在左上。在 AB 边等距设置 7 个波源 $P_{i}$ ，在对边 CD 对应设置 7 个接收器 $Q_{j}$ ；在 AD 边等距设置 7 个波源 $R_{i}$ ，在对边 BC 对应设置 7 个接收器 $S_{j}$ ，其中 $i, j = 1, \dots, 7$ 。

$t_{i j}$ 是从 $P_{i}$ 到 $Q_{j}$ 的传播时间， $τ_{i j}$ 是从 $R_{i}$ 到 $S_{j}$ 的传播时间。弹性波在介质中的速度为 2880 米/秒，在空气中的速度为 320 米/秒；沿板边缘的传播速度与在介质中相同。

两组测量时间

以下全部时间的单位都是秒，每行对应一个波源，每列对应一个接收器。

波源	Q1	Q2	Q3	Q4	Q5	Q6	Q7
P1	0.0611	0.0895	0.1996	0.2032	0.4181	0.4923	0.5646
P2	0.0989	0.0592	0.4413	0.4318	0.4770	0.5242	0.3805
P3	0.3052	0.4131	0.0598	0.4153	0.4156	0.3563	0.1919
P4	0.3221	0.4453	0.4040	0.0738	0.1789	0.0740	0.2122
P5	0.3490	0.4529	0.2263	0.1917	0.0839	0.1768	0.1810
P6	0.3807	0.3177	0.2364	0.3064	0.2217	0.0939	0.1031
P7	0.4311	0.3397	0.3566	0.1954	0.0760	0.0688	0.1042

波源	S1	S2	S3	S4	S5	S6	S7
R1	0.0645	0.0602	0.0813	0.3516	0.3867	0.4314	0.5721
R2	0.0753	0.0700	0.2852	0.4341	0.3491	0.4800	0.4980
R3	0.3456	0.3205	0.0974	0.4093	0.4240	0.4540	0.3112
R4	0.3655	0.3289	0.4247	0.1007	0.3249	0.2134	0.1017
R5	0.3165	0.2409	0.3214	0.3256	0.0904	0.1874	0.2130
R6	0.2749	0.3891	0.5895	0.3016	0.2058	0.0841	0.0706
R7	0.4434	0.4919	0.3904	0.0786	0.0709	0.0914	0.0583

需要完成的两项任务

利用给定测量资料，确定平板内空洞的位置。
讨论只使用 $t_{i j}$ 这一组测量能否确定空洞位置；在仍能确定空洞位置的前提下，讨论减少波源和接收器数量的办法。

原始数据说明

两表保留官方题面给出的数值。其中部分时间小于 240 米按 2880 米/秒传播所需的时间，与题设边长及传播速度之间存在需要说明的一致性问题。题面未附更正，不能未经说明就替换这些数据或改动单位。

附件与来源

官方1992—2000年题目汇编PDF。本题见汇编第21页。

来源：全国大学生数学建模竞赛官方发布页。核对日期：2026年9月22日。