2001年国赛A题：血管的三维重建

2001年国赛A题：血管的三维重建是2001年全国大学生数学建模竞赛的A题。

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管道与切片

连续平行切片能够记录组织、器官在各截面上的形状，本题根据这类数字图像恢复一个特殊管道的三维形态。

管道表面由一个球沿曲线运动时形成的包络面构成，球心所走的曲线称为中轴线。球的半径固定；例如中轴线为直线时，相应管道是圆柱。题目进一步假设，中轴线与每张切片恰好有一个交点。

图像与坐标约定

已给出相继的 100 张平行切片图像，文件为 0.bmp 至 99.bmp，均为 BMP 格式，每幅宽、高各 512 像素。图像记录管道与切片平面的交。切片间距与图像像素尺寸均取 1。

Z 轴垂直于切片；第 1 张位于 $Z=0$，第 100 张位于 $Z=99$。在 $Z=z$ 的图像中，像素坐标按文件中出现的次序排列：

$(-256,-256,z)$、$(-256,-255,z)$、…、$(-256,255,z)$，

随后是

$(-255,-256,z)$、$(-255,-255,z)$、…、$(-255,255,z)$，

依次继续，最后一行次序为

$(255,-256,z)$、$(255,-255,z)$、…、$(255,255,z)$。

即同一第一个坐标下，第二个坐标先从 −256 递增至 255，再使第一个坐标递增。不要用另一个图像库的默认行列方向替换本题规定。

要求提交的结果

计算管道中轴线与球半径，给出具体算法，并绘出中轴线在 XY、YZ、ZX 三个坐标平面上的投影图。

原题展示了 z=0、1、49、50、98、99 六张示例切片；计算资料为附件中的完整 100 张图，不能只用六张示例代替。原题关于 BMP 格式的参考包括何斌等《Visual C++数字图象处理》（人民邮电出版社，2001年4月）第12页2.3.1节。

当年答卷要求

使用 A4 纸，论文题目和摘要置于第一页，第一页不能有其他标志。当年说明强调提高摘要在评阅中的权重。

附件与来源

AB01.doc；A01bmp.zip。原题文件：AB01.doc；A01bmp.zip 中 0.bmp—99.bmp。

来源：全国大学生数学建模竞赛官方发布页。核对日期：2026年9月22日。