2012年国赛B题：太阳能小屋的设计

2012年国赛B题：太阳能小屋的设计是2012年全国大学生数学建模竞赛的B题。

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小屋发电与评价目标

在小屋屋顶和外墙铺设光伏组件，将产生的直流电经逆变器转换为家庭使用的交流电，剩余电量送入电网。题目研究组件型号、排布、安装方向、倾角和逆变器配套之间的关系。

三个问题都要求全年光伏发电总量尽可能大、单位发电量费用尽可能小，并计算 35 年组件寿命期内的总发电量、经济效益及投资回收年限。民用电价按题设 0.5 元/kWh 计算。每问均须提交各外表面的组件分组阵列图、串并联连接示意图，以及分组容量和所配逆变器规格列表。

三个问题

利用山西大同气象数据，在给定小屋的部分外表面采用贴附安装。选择光伏组件，确定组件分组数量和容量，并选配逆变器容量与数量。
改用架空安装方式，考虑组件朝向及倾角的影响，重新完成第一问。
按下述建筑要求，为大同重新设计小屋，画出外形，优化外表面光伏铺设和分组连接，选配逆变器，并计算相应结果。

给定小屋的外形和尺寸

给定小屋长 10100 毫米、宽 7100 毫米，立面低处高 3200 毫米，最高处 4400 毫米。两坡对应的水平分段为 6400 和 700 毫米，高差均为 1200 毫米。门窗及屋顶开口的位置、大小也是可铺设表面的条件，六张原始视图如下，标注单位均为毫米。

2012年国赛B题给定小屋东立面，含全部官方尺寸标注 — 附件2：东立面。尺寸及开口位置为已知条件。

2012年国赛B题给定小屋南立面，含全部官方尺寸标注 — 附件2：南立面。尺寸及开口位置为已知条件。

2012年国赛B题给定小屋西立面，含全部官方尺寸标注 — 附件2：西立面。尺寸及开口位置为已知条件。

2012年国赛B题给定小屋北立面，含全部官方尺寸标注 — 附件2：北立面。尺寸及开口位置为已知条件。

2012年国赛B题给定小屋顶视图，含全部官方尺寸标注 — 附件2：顶视图。尺寸及开口位置为已知条件。

2012年国赛B题给定小屋透视图，含全部官方尺寸标注 — 附件2：透视图。尺寸及开口位置为已知条件。

分组连接及启动条件

同一表面可使用不止一种型号；只有相同型号的组件允许串联，不同型号不能串联。串联会叠加电压与功率。
串联组件可再并联，但并联各组的端电压相差不得超过 10%。一组或多组串联支路并联后形成分组阵列，总功率为全部组件功率之和。同阵列应尽量具有相同朝向、倾角等太阳辐射条件。
不同外表面的组件，即使型号相同，也不能互相串联或并联。
阵列端电压应在逆变器允许的直流输入范围内，低于下限则逆变器停止工作，对应时段不计发电。附件允许用表面辐照阈值简化判断：单晶硅、多晶硅启动阈值为至少 80 W/m²，薄膜组件为至少 30 W/m²。
阵列最大功率不能超过逆变器额定容量，所选逆变器容量须不小于对应组件分组安装容量。

附件的连接图还用同型号、单块参数 $(V_{1}, W_{1})$ 作说明：3 块串联的一串为 $(3 V_{1}, 3 W_{1})$ ；三条这种串联支路并联为 $(3 V_{1}, 9 W_{1})$ ；两条每串 6 块的支路并联为 $(6 V_{1}, 12 W_{1})$ 。这些是附件所给连接关系示例，不是三问的铺设方案。

光伏组件参数与价格

A 为单晶硅，B 为多晶硅，C 为非晶硅薄膜。对应价格分别为 14.9、12.5、4.8 元/Wp。额定功率在辐照强度 1000 W/m²、光谱 AM1.5、温度 25℃ 条件下测试；实际发电量计算可忽略 AM 值影响，使用组件表面接受的总辐射量。尺寸依原表列出三个方向，单位为毫米；效率列以百分数表示。

型号	功率（W）	尺寸（mm）	开路电压（V）	短路电流（A）	转换效率（%）
A1	215	1580×808×40	46.1	5.79	16.84
A2	325	1956×991×45	46.91	8.93	16.64
A3	200	1580×808×35	46.1	5.5	18.70
A4	270	1651×992×40	38.1	8.9	16.50
A5	245	1650×991×40	37.73	8.58	14.98
A6	295	1956×991×45	45.92	8.64	15.11
B1	265	1650×991×40	37.91	9.01	16.21
B2	320	1956×991×45	45.98	8.89	16.39
B3	210	1482×992×35	33.6	8.33	15.98
B4	240	1640×992×50	36.9	8.46	14.80
B5	280	1956×992×50	44.8	8.33	15.98
B6	295	1956×992×50	45.1	8.57	15.20
B7	250	1668×1000×40	37.83	8.75	14.99
C1	100	1300×1100×15	138	1.22	6.99
C2	58	1321×711×20	62.3	1.54	6.17
C3	100	1414×1114×35	99	1.65	6.35
C4	90	1400×1100×22	115.4	1.26	5.84
C5	100	1400×1100×25	100	1.64	6.49
C6	4	310×355×16.7	26.7	0.35	3.63
C7	4	615×180×16.7	12.6	0.7	3.63
C8	8	615×355×16.7	26.7	0.7	3.66
C9	12	920×355×16.7	26.7	1.05	3.66
C10	12	818×355×16.7	26.7	0.9	4.13
C11	50	1645×712×27	55	1.75	4.27

附件 3 对晶硅组件另列弱光说明：辐照强度低于 200 W/m² 时，转换效率低于所列转换效率的 5%；薄膜组件在 200 W/m² 下的性能较 1000 W/m² 提高 1%。所有型号在 0—10 年按 100% 效率折算，10—25 年按 90%，25 年后按 80%；35 年总发电量需包含这项题设衰减。

逆变器参数

原题背景概括为家庭 220 V 交流电，具体产品表中 SN17、SN18 的额定交流电压为 230 V，以下保留各型号原值。效率均对应 80% 阻性负载。为便于阅读，电气参数和外形、价格分为两表，均按型号对应。

型号	额定直流电压（V）	额定直流电流（A）	允许输入电压（V）	交流电压/频率（V/Hz）	额定交流电流（A）	额定功率（kW）	效率
SN1	DC24	25	21～32	AC220/50	2.2	0.4	84%
SN2	DC24	50	21～32	AC220/50	4.5	0.8	84%
SN3	DC48	24	42～64	AC220/50	4.5	0.8	86%
SN4	DC48	48	42～64	AC220/50	9.0	1.6	86%
SN5	DC48	73	42～64	AC220/50	13.6	2.4	86%
SN6	DC48	115	42～64	AC220/50	22.7	4	90%
SN7	DC110	30	99～150	AC220/50	13.6	2.4	90%
SN8	DC110	51	99～150	AC220/50	22.7	4	90%
SN9	DC110	101	99～150	AC220/50	45.5	8	92%
SN10	DC110	202	99～150	AC220/50	91	16	92%
SN11	DC220	5	180～300	AC220/50	4.5	0.8	94%
SN12	DC220	10	180～300	AC220/50	9.1	1.6	94%
SN13	DC220	15.2	180～300	AC220/50	13.6	2.4	94%
SN14	DC220	25.3	180～300	AC220/50	22.7	4.0	94%
SN15	DC220	37.9	180～300	AC220/50	34.1	6.0	94%
SN16	DC220	48.4	180～300	AC220/50	45.5	8	94%
SN17	DC650	40	250～800	AC230/50	15	10	97.3%
SN18	DC650	40	330～800	AC230/50	18	12	97.3%

型号	环境温度（℃）	宽×高×深（mm）	参考价格（元/台）
SN1	-20～50	200×365×395	2900
SN2	-20～50	200×365×395	4500
SN3	-20～50	200×365×395	4500
SN4	-20～50	200×365×395	6900
SN5	-20～50	400×750×470	10200
SN6	-20～50	400×750×47	15000
SN7	-20～50	458×400×470	10200
SN8	-20～50	400×750×470	15300
SN9	-20～50	800×1800×600	35000
SN10	-20～50	800×2260×600	63800
SN11	-20～50	205×365×425	4500
SN12	-20～50	205×365×425	6900
SN13	-20～50	205×365×425	10300
SN14	-20～50	400×740×470	15300
SN15	-20～50	400×740×470	22000
SN16	-20～50	400×750×470	35000
SN17	-25～60	550×650×250	43750
SN18	-25～60	550×650×250	54700

SN6 的尺寸在原参数表中确为“400×750×47”，其他相近型号多为深 470 毫米；此处保留原表数值，没有自行补零。

气象数据与附件给出的角度关系

附件 4 给出大同典型气象年的逐小时资料，包含水平面总辐射、水平面散射、法向直射以及东、南、西、北四方向总辐射强度，单位均为 W/m²。数据库标注时间比实际时间早 1 小时，例如表中 11:00 对应实际 12:00；不能忽略这个原题特别说明。

附件 6 是供参考的概念资料，给定大同经度 113°18′、纬度约 40.1°。太阳时 $t_{s}$ 以太阳到达正南时为 12 点；时角 $ω$ 上午为负、下午为正，以度表示为

ω = 15 (t_{s} - 12) .

日期序号为 $n$ （1 月 1 日为 1、平年 3 月 22 日为 81），太阳赤纬近似式为

δ = 23.45 \sin (\frac{2 π (284 + n)}{365})

（度）。

令 $ϕ$ 为地理纬度，太阳高度角 $α$ 满足

\sin α = \sin ϕ \sin δ + \cos ϕ \cos δ \cos ω .

太阳方位角 $A$ 从北方沿地平线顺时针量。附件给出的关系为

\sin A = - \frac{\sin ω \cos δ}{\cos α},

\cos A = \frac{\sin δ \cos ϕ - \cos ω \cos δ \sin ϕ}{\cos α} = \frac{\sin δ - \sin α \sin ϕ}{\cos α \cos ϕ} .

附件提醒应根据上午、下午选择角的象限，不能把反三角函数的一个主值直接当作完整方位。上述公式属于原题参考材料，并非对铺设方案的解答。

第三问的建筑约束

屋顶最高点离地不超过 5.4 米，室内使用空间的最低净空高度至少 2.8 米。
建筑总投影面积含挑檐和雨棚，不超过 74 平方米。
建筑平面体型的长边不超过 15 米，最短边至少 3 米。
窗地比，即开窗面积与房间地板面积之比，至少为 0.2，可不区分朝向。
窗墙比按开窗面积与该朝向墙面积之比计：南墙不超过 0.50，东、西墙不超过 0.35，北墙不超过 0.30。
朝向可按设计需要选择，允许偏离正南。

原年度包中 B 题共有 7 项附件：分组连接要求、六幅外形图、组件参数价格、气象资料、逆变器参数价格、相关概念、建筑要求。数值表和尺寸图共同构成题目条件。

原题、附件与来源

下载官方年度题目与附件包（RAR），查找B题及其附件目录。

来源：全国大学生数学建模竞赛2012年官方发布页。核对日期：2026年9月22日。