秩零化度定理

秩零化度定理（rank–nullity theorem）对有限维线性映射 $T : V \to W$ 断言 $\dim V = \dim \ker T + \dim im T .$ 输入空间的维数一部分落在被映成零的方向，另一部分成为能区分的输出方向。矩阵若有 $n$ 列，这也写成“列秩 + 零空间维数 = $n$ ”。

证明中没有消失的方向

先取核的一组基 $k_{1}, \dots, k_{r}$ ，把它扩充为 $V$ 的一组基 $k_{1}, \dots, k_{r}, v_{1}, \dots, v_{s}$ 。任意输入都可由这些基向量表示，而 $T (k_{i}) = 0$ ，所以像空间由 $T (v_{1}), \dots, T (v_{s})$ 生成。

这些输出也线性无关：若 $\sum_{j} c_{j} T (v_{j}) = 0$ ，则 $\sum_{j} c_{j} v_{j} \in \ker T$ ，可写成 $k_{i}$ 的组合。移到同一侧，会得到原基的一条线性关系；原基无关迫使所有 $c_{j} = 0$ 。故 $T (v_{1}), \dots, T (v_{s})$ 是像的基， $\dim \ker T = r, \dim im T = s$ ，而 $\dim V = r + s$ 。

例如 $T (x, y, z) = (x + y, z)$ ，核为 ${(t, - t, 0)}$ ，维数 1；任意 $(u, v)$ 都由输入 $(u, 0, v)$ 达到，像维数 2。因此 $3 = 1 + 2$ 。不能把输出空间的维数 2 与像的维数在任何映射中都混同：若映射不满射，像还会更小。

参考资料