等比数列

等比数列在相邻两项之间保持同一个乘法因子。按常用定义，首项 $a_{1} \neq 0$ ，存在固定的非零实数 $q$ ，使所有 $n \geq 1$ 都满足 $a_{n + 1} / a_{n} = q$ ，或等价地 $a_{n + 1} = q a_{n}$ 。 $q$ 叫公比。从 80、40、20、10 走下去，公比为 $1 / 2$ ，每一步都保留上一项的一半。

乘 n−1 次

第 2 项是 $a_{1} q$ ，第 3 项是 $a_{1} q^{2}$ 。从第 1 项到第 $n$ 项共乘 $n - 1$ 次，所以 $a_{n} = a_{1} q^{n - 1}, a_{n} = a_{m} q^{n - m} .$ 第二式适合已知中间某项时使用。例如 $a_{3} = 20, q = 1 / 2$ ，则 $a_{6} = 20 (1 / 2)^{3} = 5 / 2$ 。这也是乘法过程与指数函数相连的原因；不过数列只在整数编号上取值。

若 $q > 1$ 且首项为正，各项增大；若 $0 < q < 1$ ，各项逐渐减小； $q = 1$ 时是常数列。公比可以为负，例如 $2, - 4, 8, - 16, \dots$ 的 $q = - 2$ ，符号逐项交替；不能简单说“公比绝对值大就数列递增”。标准定义排除 $q = 0$ ，因为此时后续项为零，相邻项之比无法一直定义；若只用递推 $a_{n + 1} = 0 a_{n}$ ，则仍可得到一个序列，但不按这里的非零公比定义称等比数列。

中间项的乘法关系

相邻三项 $a_{n - 1}, a_{n}, a_{n + 1}$ 满足 $a_{n}^{2} = a_{n - 1} a_{n + 1}$ 。这是因为前后分别为 $a_{n} / q$ 与 $q a_{n}$ ，乘积正好为 $a_{n}^{2}$ 。当三项都为正时，中项是两侧的几何平均数。例如 4、6、9 满足 $6^{2} = 4 \cdot 9$ ，公比为 $3 / 2$ 。

这个平方关系在带符号数列中只是必要条件，单独使用可能丢失符号。三项 $1, - 2, 4$ 构成公比 −2 的等比数列；而若只知道 $a_{2}^{2} = a_{1} a_{3}$ ，还须检查每个相邻比是否真是同一固定值。

试算。某批材料按固定比例损耗，第一天剩 96 克，第四天剩 12 克。若每日保留比例 $q > 0$ ，则 $12 = 96 q^{3}$ ，所以 $q = 1 / 2$ 。第二天剩 48 克，第五天剩 6 克。这里共经历三次变化而非四次；若把指数误写成 4，便会得到与逐日列表不合的结果。累计用量或剩余量见等比数列的前n项和。

参考资料

OpenStax《Precalculus 2e》第 11 章概念索引：等比数列的递推与通项。