群

群是由一个集合和该集合上的二元运算组成的代数结构，其运算满足结合律，具有单位元，而且每个元素都有逆元。群把整数加法、几何对称和可逆变换中共同的规律抽取出来。

四项条件

设运算写作 $\circ$。集合 $G$ 构成群，需要满足：

1. 封闭性：$a,b\in G$ 时，$a\circ b\in G$。
2. 结合律：$(a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)$。
3. 单位元：存在 $e\in G$，使 $e\circ a=a\circ e=a$。
4. 逆元：每个 $a\in G$ 都存在 $a^{-1}\in G$，使 $a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e$。

运算若还满足 $a\circ b=b\circ a$，称为阿贝尔群。交换律不是一般群的定义要求。

例如整数在加法下构成群：单位元是 0，$n$ 的逆元是 $-n$。正整数在加法下不是群；即使把 0 加入，正整数仍缺少加法逆元。非零实数在乘法下构成群，若把 0 加入则失败，因为 0 没有乘法逆元。

正方形的四种旋转

令 $r$ 表示绕正方形中心逆时针旋转 90 度。保持正方形的旋转组成 $$C_4=\{e,r,r^2,r^3\},r^4=e.$$ 这里运算是旋转的复合，$r^3$ 是 $r$ 的逆元。可以用整数模 4 的加法记录旋转次数：$3+2\equiv 1(\mathrm{mod}4)$，表示转 270 度再转 180 度，效果与转 90 度相同。

四次四分之一圈旋转回到初始状态。有色顶点只是跟踪标记，正方形本身的对称形状保持不变。

加入反射以后不再交换

令 $s(x,y)=(x,-y)$ 表示关于横轴反射，而 $r(x,y)=(-y,x)$。约定 $rs$ 表示先做 $s$ 再做 $r$。作用于 $(1,0)$ 时， $$rs(1,0)=(0,1),sr(1,0)=(0,-1).$$ 所以 $rs\ne sr$。正方形的全部旋转与反射构成有 8 个元素的二面体群。不同教材对二面体群下标的记法可能不同，说明元素个数比只写符号更清楚。

逆元为什么唯一

若 $b$ 和 $c$ 都是 $a$ 的逆元，利用结合律可得 $$b=b\circ e=b\circ (a\circ c)=(b\circ a)\circ c=e\circ c=c.$$ 因此逆元唯一。类似地，可在等式两边同侧乘以逆元消去相同因子，但不能未经理由交换乘法次序。

子群与保持结构的映射

群中一个子集若在原运算下也构成群，称为子群。例如 $\{e,r^2\}$ 是 $C_4$ 的子群，而 $\{e,r\}$ 不是，因为 $r\circ r=r^2$ 不在其中。

若映射 $\phi :G\to H$ 满足 $\phi (ab)=\phi (a)\phi (b)$，称为群同态；若它还是双射，称为同构。同构说明两个系统的元素名字不同，但运算结构相同。模 4 加法与正方形旋转群就是一例。非零复数乘法、可逆矩阵及空间对称都可以从这个角度研究。

延伸阅读

• Thomas W. Judson，《Abstract Algebra: Theory and Applications》：群、循环群与置换群。
• 矩阵 · 欧拉公式 · 环面