2024年国赛A题：“板凳龙”闹元宵
2024年国赛A题：“板凳龙”闹元宵是2024年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的A题。题目把首尾相接的板凳组成一条“龙”，研究队伍沿螺线盘入、在有限空间内调头并盘出时的位置、速度和碰撞限制。
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板凳龙的组成与尺寸
“板凳龙”又称“盘龙”，是一种流行于浙闽地区的民俗活动。队伍由龙头引领，龙身与龙尾依次跟随；题目关注在能够顺利盘入、盘出的前提下，如何减少所需场地并提高行进速度。
本题板凳龙共223节：第1节是龙头，随后221节为龙身，最后1节为龙尾。尺寸如下。
| 项目 | 给定值 |
|---|---|
| 龙头板长 | 341 cm |
| 龙身、龙尾板长 | 均为220 cm |
| 所有板凳的板宽 | 30 cm |
| 每节板凳孔数 | 2个 |
| 孔的直径 | 5.5 cm |
| 孔中心至最近板头的距离 | 27.5 cm |
每节板凳前后各有一个孔，相邻板凳通过孔中的把手连接。以下所说的队伍“位置和速度”，是指龙头、各节龙身、龙尾的前把手中心，以及龙尾后把手中心的位置和速度。结果表中“龙尾（后）”专指最后一个后把手，其余记录均为前把手。
所有要求提交的数值结果保留6位小数。位置使用平面坐标、单位m，速度单位m/s。
问题1：沿给定螺线盘入
队伍沿螺距55 cm的等距螺线顺时针盘入，所有把手中心都位于该螺线上。龙头前把手的行进速度始终为1 m/s。初始时，龙头位于螺线第16圈的A点；题面示意图中，螺线中心为原点O，A点位于轴正半轴上。
要求给出从初始时刻至300 s、每隔1 s整个舞龙队的位置和速度，填入附件模板result1.xlsx。
论文中还须单独列出下列时刻、下列把手的结果：
- 时刻：0、60、120、180、240、300 s。
- 把手：龙头前把手，龙头后面第1、51、101、151、201节龙身的前把手，以及龙尾后把手。
- 位置表：每个把手分别列出和坐标，按上述六个时刻分列。
- 速度表：每个把手列出相应六个时刻的速度。
问题2：避免碰撞的盘入终止时刻
沿问题1的螺线继续盘入，确定在板凳之间不发生碰撞的要求下，队伍不能再继续盘入的终止时刻。给出这一时刻全队的位置和速度，填入result2.xlsx。
论文中同时报告该时刻的龙头前把手、第1、51、101、151、201节龙身前把手和龙尾后把手的位置与速度。
问题3：到达调头空间所需的最小螺距
队伍须从顺时针盘入切换为逆时针盘出。允许调头的场地为以螺线中心为圆心、直径9 m的圆形区域。
确定最小螺距，使龙头前把手能够沿对应的盘入螺线到达这一调头区域的边界。
问题4：调头曲线与全程运动
本问盘入螺线的螺距改为1.7 m，盘出螺线与盘入螺线关于螺线中心成中心对称。队伍须在问题3的圆形区域内完成调头。
题目给定的调头路径由两段相切圆弧组成S形曲线，前一段圆弧半径为后一段的2倍；这条曲线还分别与盘入、盘出螺线相切。首先讨论：调整圆弧而仍保持各部分相切，能否缩短调头曲线？
龙头前把手仍以1 m/s行进，以开始调头的时刻为0 s，给出从−100 s到100 s每隔1 s的全队位置和速度，填入result4.xlsx。
论文中另列−100、−50、0、50、100 s时，龙头前把手、第1、51、101、151、201节龙身前把手和龙尾后把手的位置与速度。
问题5：限制各把手速度时的龙头最大速度
队伍沿问题4的路径行进，龙头保持恒定速度。确定龙头可采用的最大行进速度，使所有把手的速度均不超过2 m/s。
附件下载与来源
下载2024年国赛官方赛题包。本题目录为CUMCM2024Problems/A题/，题面为其中的A题.pdf，该目录同时提供结果模板。参赛论文须遵守包内的竞赛论文格式规范。
来源：全国大学生数学建模竞赛组委会《2024年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目：A题 “板凳龙”闹元宵》，PDF共3页；官方年度发布页。本页核对日期为2026年9月22日。