2023年国赛A题：定日镜场的优化设计

2023年国赛A题：定日镜场的优化设计是2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的A题。题目给出塔式太阳能光热电站的场地、集热器、定日镜和辐照度条件，要求评价已有镜场，并在额定热功率要求下重新设计镜场。

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定日镜及镜场的含义

定日镜通过纵向与水平转轴调整平面反射镜的方位和俯仰，将太阳光反射到吸收塔顶端的集热器。大量定日镜组成镜场，集热器把接收的太阳能转化为导热介质的热能，供后续储热、换热和发电。

两转轴的交点也是镜面中心；这一点到地面的距离叫安装高度。集热器中心到地面的高度叫吸收塔高度。工作时，镜面法向随太阳位置变化，使太阳中心发出的光经镜面中心反射后指向集热器中心。题目指出太阳光具有一定锥形角，不能将所有入射和反射光都当成完全平行的光线。

场地与设备条件

镜场设在东经98.5°、北纬39.4°、海拔3000 m处，范围为半径350 m的圆。以圆心为原点，正东为$x$轴正向，正北为$y$轴正向，竖直向上为$z$轴正向。

项目	条件
吸收塔高度	80 m
集热器	圆柱形外表受光式，高8 m、直径7 m
塔周围预留区域	塔周围100 m范围内不安装定日镜，预留厂房及发电、储能、控制设备空间
镜面形状	平面矩形，上下两条边始终平行于地面
宽与高	上下边间距为镜面高度，左右边间距为镜面宽度；通常宽度不小于高度
镜面边长	2—8 m
安装高度	2—6 m，且须保证绕水平转轴旋转时不触地
相邻镜子底座间距	底座中心距离须比镜面宽度多5 m以上，以满足维护、清洗车辆通行

为统一“年均”指标的计算，题目只取每月21日的当地时间9:00、10:30、12:00、13:30、15:00这五个时点。

问题1：评价给定镜场

吸收塔位于圆形镜场中心，所有镜面均为6 m×6 m，安装高度均为4 m。各镜面中心位置由附件给出。

计算镜场的年平均光学效率、年平均输出热功率、单位镜面面积年平均输出热功率，并按下文表1、表2的指标格式报告结果。

问题2：镜面尺寸与安装高度统一的设计

镜场额定年平均输出热功率为60 MW。所有定日镜采用相同尺寸、相同安装高度，须设计以下参数：

• 吸收塔位置坐标。
• 统一的镜面尺寸和安装高度。
• 定日镜数量及每面镜子的位置。

在达到额定功率的条件下，使单位镜面面积年平均输出热功率尽可能大。报告表1、表2、表3所需指标，并将吸收塔坐标、镜面尺寸、安装高度和各镜面位置按模板写入result2.xlsx。

问题3：允许不同尺寸和高度的设计

额定功率仍为60 MW，但不同定日镜的尺寸、安装高度都可以不同。重新设计镜场各参数，仍以满足额定功率时的单位镜面面积年平均输出热功率尽可能大为目标。

填写表1、表2、表3，并把吸收塔坐标及每面镜子的尺寸、安装高度、位置写入result3.xlsx。表3中的统一“定日镜尺寸”和“定日镜安装高度”两栏，在本问中可以空缺。

论文中要求报告的指标

结果表	行或统计范围	指标
表1：每月21日平均指标	1月至12月，每月一行	平均光学效率、平均余弦效率、平均阴影遮挡效率、平均截断效率、单位镜面面积平均输出热功率（kW/m²）
表2：年平均指标	全年	年平均光学效率、年平均余弦效率、年平均阴影遮挡效率、年平均截断效率、年平均输出热功率（MW）、单位镜面面积年平均输出热功率（kW/m²）
表3：设计参数	问题2、问题3的方案	吸收塔位置坐标、镜面尺寸（宽×高）、安装高度（m）、镜子总面数、镜面总面积（m²）

题目附录给定的计算公式

太阳位置

太阳高度角${\alpha }_s$与方位角${\gamma }_s$满足

$$\sin {\alpha }_s=\cos \delta \cos \phi \cos \omega +\sin \delta \sin \phi ,$$

$$\cos {\gamma }_s=\frac{\sin \delta -\sin {\alpha }_s\sin \phi }{\cos {\alpha }_s\cos \phi }.$$

其中$\phi$为当地纬度，北纬取正；$\omega$为太阳时角，按当地时间$ST$计算：

$$\omega =\frac{\pi }{12}(ST-12).$$

太阳赤纬角$\delta$满足

$$\sin \delta =\sin \left(\frac{2\pi D}{365}\right)\sin \left(\frac{2\pi }{360}23.45\right).$$

$D$从春分当天的第0天起算。例如春分为3月21日时，4月1日对应$D=11$。

法向直接辐射辐照度

法向直接辐射辐照度DNI是垂直于太阳光线的单位面积平面在单位时间接收的太阳辐射能量，单位kW/m²。题目给出的近似式为

$$\mathrm{D}\mathrm{N}\mathrm{I}=G_0[a+b\exp (-\frac{c}{\sin {\alpha }_s})],$$

$$\begin{array}{cc}a& =0.4237-0.00821(6-H{)}^2,\\ b& =0.5055+0.00595(6.5-H{)}^2,\\ c& =0.2711+0.01858(2.5-H{)}^2.\end{array}$$

$G_0=1.366\mathrm{k}\mathrm{W}/{\mathrm{m}}^{\mathrm{2}}$是采用的太阳常数，海拔$H$在这些公式中的单位为km。

镜场输出热功率

$$E_{\mathrm{f}\mathrm{i}\mathrm{e}\mathrm{l}\mathrm{d}}=\mathrm{D}\mathrm{N}\mathrm{I}\sum _{i=1}^N{A}_i{\eta }_i.$$

$N$为定日镜面数，$A_i$为第$i$面镜子的采光面积、单位m²，${\eta }_i$为其光学效率。

光学效率的组成

$$\eta ={\eta }_{\mathrm{s}\mathrm{b}}{\eta }_{\cos }{\eta }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}{\eta }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}}{\eta }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}.$$

各因子按题目定义如下：

• 阴影遮挡效率${\eta }_{\mathrm{s}\mathrm{b}}$＝1−阴影遮挡损失。
• 余弦效率${\eta }_{\cos }$＝1−余弦损失。
• 大气透射率为

$${\eta }_{\mathrm{a}\mathrm{t}}=0.99321-0.0001176d_{\mathrm{H}\mathrm{R}}+1.97\times 10^{-8}{d}_{\mathrm{H}\mathrm{R}}^2,d_{\mathrm{H}\mathrm{R}}\le 1000.$$

这里$d_{\mathrm{H}\mathrm{R}}$是镜面中心至集热器中心的距离，单位m。

• 集热器截断效率为

$${\eta }_{\mathrm{t}\mathrm{r}\mathrm{u}\mathrm{n}\mathrm{c}}=\frac{\text{集热器接收能量}}{\text{镜面全反射能量}-\text{阴影遮挡损失能量}}.$$

• 镜面反射率${\eta }_{\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{f}}$可取常数，题目所举取值为0.92。

附件下载与来源

下载2023年国赛官方赛题包。解压后进入A题.rar，其中有A题.pdf、定日镜位置数据及两份结果模板。参赛论文须遵守年度包中的竞赛论文格式规范。

来源：全国大学生数学建模竞赛组委会《2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目：A题 定日镜场的优化设计》，PDF共4页，含计算公式附录；官方年度发布页。本页核对日期为2026年9月22日。