2023年国赛B题：多波束测线问题

2023年国赛B题：多波束测线问题是2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的B题。题目研究测量船使用多波束声呐测深时，海底坡度、船的位置和航向怎样影响覆盖范围，并要求布置兼顾覆盖、重叠率和航行长度的测线。

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测深条带与重叠率

单波束测深从船上向海底发射声波，再依据海水中的声速和往返时间测量深度。它沿航迹连续取点，因而航迹上的数据密集，测线之间则没有数据。

多波束系统在垂直于航迹的平面内同时发出多个波束，形成具有一定宽度的测深条带。覆盖宽度$W$随换能器开角$\theta$和水深$D$变化。对于测线平行且海底平坦的情形，题目定义相邻条带的重叠率为

$$\eta =1-\frac{d}{W},$$

其中$d$为相邻测线间距。$\eta <0$表示漏测。题目提出，相邻条带通常应保持10%—20%的重叠，以兼顾测量方便和数据完整。

真实海底深浅变化会使条带宽度不同：按平均水深定间隔，较浅处可能漏测；按最浅处水深定间隔，较深处又可能重叠过多，增加冗余。

问题1：横断面有坡度时的覆盖与重叠

取与测线方向垂直的平面，它和海底坡面的交线是一条斜线，与水平面的夹角为$\alpha$，称为坡度。建立多波束覆盖宽度和相邻条带重叠率的模型。

给定换能器开角120°、坡度1.5°、海域中心水深70 m。计算下列各条测线处的水深、覆盖宽度，以及它与前一条测线的重叠率：

位置或指标	题目要求
测线距中心的距离（m）	−800、−600、−400、−200、0、200、400、600、800
各位置输出	海水深度（m）、覆盖宽度（m）、与前一条测线重叠率（%）
已知值与首列说明	中心水深70 m；−800 m列的“与前一条测线重叠率”不填数值

按这些距离顺序在正文中列出结果，并保存到result1.xlsx。

问题2：测线方向改变时的覆盖宽度

在矩形待测海域内，记测线方向与海底坡面法向在水平面上的投影之间的夹角为$\beta$，建立相应的多波束覆盖宽度模型。

本问仍取开角120°、坡度1.5°，但中心水深改为120 m。对以下距离和角度的全部组合，计算覆盖宽度，单位m。

• 测量船距海域中心的距离，单位海里：0、0.3、0.6、0.9、1.2、1.5、1.8、2.1。
• 方向夹角$\beta$，单位度：0、45、90、135、180、225、270、315。

正文结果表以距离为列、方向夹角为行，并把结果保存到result2.xlsx。

问题3：规则坡面海域的最短测线设计

待测区域是南北长2海里、东西宽4海里的矩形，中心水深110 m，海底西深东浅，坡度1.5°，换能器开角120°。

设计一组测线，要求完全覆盖这片海域，相邻条带重叠率满足10%—20%，并使总测量长度最短。

问题4：利用历史单波束数据设计测线

附件提供若干年前对另一片海域进行单波束测深所得的数据，区域南北长5海里、东西宽4海里。利用这些数据为多波束测量船设计测线，要求：

1. 条带尽可能覆盖整个待测海域。
2. 相邻条带的重叠率尽量控制在20%以下。
3. 测线总长度尽可能短。

对具体方案报告三项指标：总测线长度、漏测面积占待测总面积的百分比、重叠区域中重叠率超过20%的部分的总长度。

附件横、纵坐标单位为海里，水深单位为m；换算采用1海里＝1852 m。

附件下载与来源

下载2023年国赛官方赛题包。解压后进入B题.rar，其中包含B题.pdf、海水深度数据附件.xlsx及两份结果模板。参赛论文须遵守年度包中的竞赛论文格式规范。

来源：全国大学生数学建模竞赛组委会《2023年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目：B题 多波束测线问题》，PDF共3页；官方年度发布页。本页核对日期为2026年9月22日。