微分方程

微分方程是包含未知函数及其导数的方程，用来描述一个量与其变化率之间的关系。只含一个自变量的称为常微分方程，涉及多个自变量及偏导数的称为偏微分方程。求解时需要找函数，而不仅是一个数。

方程、阶数与初始条件

方程中出现的最高阶导数决定阶数。例如 $y^{'} = k y$ 是一阶方程， $y^{″} + ω^{2} y = 0$ 是二阶方程。未知函数及其导数以一次形式出现、且彼此不相乘的方程称为线性方程；系数可以依赖自变量。

$y^{'} = k y$ 的解为 $y (t) = C e^{k t}$ ，常数 $C$ 需要由初始值决定。给定 $y (0) = y_{0}$ 后，得到 $y (t) = y_{0} e^{k t}$ 。方程描述演化规律，初始条件说明从哪里开始。

一个可验证的冷却模型

在环境温度恒为 $T_{a}$ 、冷却系数 $k > 0$ 近似恒定的模型中，牛顿冷却定律写为 $\frac{d T}{d t} = - k (T - T_{a}), T (0) = T_{0} .$ 令 $u = T - T_{a}$ ，就得到 $u^{'} = - k u$ ，因此 $T (t) = T_{a} + (T_{0} - T_{a}) e^{- k t} .$ 代回去可直接检验：导数为 $- k (T_{0} - T_{a}) e^{- k t}$ ，正好等于右端，且 $t = 0$ 时恢复初始值。

温度从八十摄氏度指数下降，逐渐接近二十摄氏度的环境温度，欧拉法的离散点也画在图中 — 解析解逼近环境温度；步长 1 分钟的显式欧拉近似略低于解析曲线。

取教学参数 $T_{a} = 20$ 摄氏度、 $T_{0} = 80$ 摄氏度、 $k = 0.2$ 每分钟，则 5 分钟后 $T (5) = 20 + 60 e^{- 1} \approx 42.07$ 摄氏度。该理想模型只在 $t \to \infty$ 时达到环境温度，有限时间内始终留有温差；实际测量分辨率会使温差看起来已消失。

分离变量时不能丢失平衡解

对 $u^{'} = - k u$ ，若 $u \neq 0$ ，可分离为 $d u / u = - k d t$ ，积分得到指数解。但除以 $u$ 时暂时排除了 $u = 0$ ；必须单独检查，它正对应 $T (t) \equiv T_{a}$ 的平衡解。

更一般地，分离变量只适用于可写成 $y^{'} = g (t) h (y)$ 的方程，并应检查被除去因子的零点，而不是把每个一阶方程都强行分离。

初值是否总能确定唯一解

对 $y^{'} = f (t, y)$ ，一个常用的局部存在唯一性充分条件是：初始点附近 $f$ 连续，且对 $y$ 局部 Lipschitz 连续。不能仅凭“给了一个初始值”就保证唯一。

例如在 $t \geq 0$ 上，方程 $y^{'} = 2 \sqrt{| y |}$ 、 $y (0) = 0$ 既有零解，也有先保持为零、到任意时刻 $c \geq 0$ 才开始取 $y (t) = (t - c)^{2}$ 的解。右端在零附近不满足上述 Lipschitz 条件。

没有简单公式时采用数值法

显式欧拉法以步长 $h$ 迭代 $y_{n + 1} = y_{n} + h f (t_{n}, y_{n}), t_{n + 1} = t_{n} + h .$ 冷却例中取 $h = 1$ 分钟，第一步得 $T_{1} = 80 - 0.2 (80 - 20) = 68$ ，解析值约为 69.12。该方法用局部切线代替真实曲线，误差会累积。

稳定性也限制步长。对温差方程，欧拉迭代为 $u_{n + 1} = (1 - k h) u_{n}$ ，要让误差随时间衰减需 $| 1 - k h | < 1$ ，即 $0 < k h < 2$ 。收敛、稳定与精度是不同问题；实际使用还应做步长细化比较，并检查模型参数和单位。

延伸阅读

Jiří Lebl，《Notes on Diffy Qs》第 1 章：分离变量、线性方程、存在唯一性与数值方法。
导数 · 积分 · 欧拉公式 · 数学建模