2020年国赛B题：穿越沙漠

2020年国赛B题：穿越沙漠是2020年高教社杯全国大学生数学建模竞赛的B题。玩家携带资金、水和食物，在限定天数内通过相邻区域到达终点，途中可以在矿山工作或在村庄补给，目标是在成功抵达的情况下保留尽可能多的资金。

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地图、时间与资源规则

游戏从第0天的起点开始。玩家必须在截止日期当天或之前到达终点，一旦到达，游戏立即结束。每天可以停留原地，或移动到一个相邻区域；两个区域须有共同边界才算相邻，仅在顶点接触不算。所有区域在同一天的天气相同，天气分晴朗、高温、沙暴三类，沙暴日只能停留。

水和食物均以整箱为最小单位，两类物资的总重量每天都不得超过负重上限。抵达终点前，只要任一种物资耗尽，玩家就失败。

每天的水、食物基础消耗量由天气决定。停留一天按基础消耗量扣除；行走一天按基础消耗量的2倍扣除。矿山工作另有以下规则。

• 在矿山挖矿一天获得规定的基础收益，同时消耗水和食物各自基础量的3倍。
• 到达矿山当天不能挖矿；沙暴日可以在矿山挖矿。
• 留在矿山但不挖矿，仍按普通停留的基础消耗量扣除。

第0天可按基准价格在起点购买物资。玩家可以留在或返回起点，但不能在起点多次购买。经过或停留在村庄时，可以用手头资金或挖矿所得购买物资，单人情形的价格为基准价的2倍。到终点后，剩余物资按基准价的一半退回资金。

六个关卡的共同参数

所有关卡的负重上限都是1200 kg，初始资金都是10000元。

物资	每箱重量（kg）	基准价格（元/箱）
水	3	5
食物	2	10

适用关卡	物资	晴朗（箱/天）	高温（箱/天）	沙暴（箱/天）
第1、2关	水	5	8	10
第1、2关	食物	7	6	10
第3—6关	水	3	9	10
第3—6关	食物	4	9	10

以下列出各关截止时间、矿山收益和地图关键位置。区域间的完整相邻关系由附件中的地图给出。

关卡	人数	截止天数	挖矿基础收益（元/天）	起点、终点	矿山	村庄
1	1	30	1000	1、27	12	15
2	1	30	1000	1、64	30、55	39、62
3	1	10	200	1、13	9	无
4	1	30	1000	1、25	18	14
5	2	10	200	1、13	9	无
6	3	30	1000	1、25	18	14

第5关使用第3关的地图，第6关使用第4关的地图。

问题1：单人且预先知道全部天气

只有一名玩家，出发前已知道整个游戏期间每天的天气。给出一般的最优策略，并分别完成第1关、第2关，将具体结果填写到Result.xlsx。

两关均采用以下30天天气顺序。

日期	按日期先后排列的天气
第1—10天	高温、高温、晴朗、沙暴、晴朗、高温、沙暴、晴朗、高温、高温
第11—20天	沙暴、高温、晴朗、高温、高温、高温、沙暴、沙暴、高温、高温
第21—30天	晴朗、晴朗、高温、晴朗、沙暴、高温、晴朗、晴朗、高温、高温

问题2：单人且只知道当天天气

仍只有一名玩家，但只能在当天知道当天天气，并据此决定当天行动。讨论这种信息条件下的一般最佳策略，并完成第3关、第4关。

第3关已知10天内不会发生沙暴；第4关只给出30天中沙暴出现较少这一信息。题目没有为这些天气给出具体概率。

问题3：多名玩家同时行动

有$n$名玩家，以相同初始资金同时从起点出发。多人行动会改变部分消耗、收益与价格。对$2\le k\le n$，规则如下。

• 若同一天有$k$名玩家从区域A走向区域B，且$A\ne B$，这些玩家各自的物资消耗为基础量的$2k$倍。这里按同一方向的A到B计数。
• 若同一天有$k$人在同一矿山挖矿，每人的消耗仍为基础量的3倍，但每人的收益降为基础收益的$1/k$。
• 若同一天有$k$人在同一村庄购买物资，购买价格为基准价的4倍。
• 其他条件沿用单人规则。

本问分两种情形：

1. 所有天气在出发前已知，每位玩家必须在第0天确定整个游戏的行动方案，之后不能更改。给出一般情况下玩家应采取的策略，并具体讨论第5关。第5关共有2名玩家，第1—10天天气依次为晴朗、高温、晴朗、晴朗、晴朗、晴朗、高温、高温、高温、高温。
2. 玩家只知道当天天气。从第1天开始，每天结束时都能知道其他玩家当天的行动和剩余资源，再据此确定下一天的行动方案。给出一般情况下玩家应采取的策略，并具体讨论第6关。此关共有3名玩家，30天中沙暴出现较少。

结果填写时点

结果表中的剩余资金、水和食物，均指当天全部活动和消耗结束后的数值；若当天购买物资，也应计入购买完成后的变化。

附件与来源

下载2020年国赛官方题目与附件包，使用其中的B/目录。原题文件为B/2020B-穿越沙漠.docx。

来源：全国大学生数学建模竞赛2020年赛题发布页。核对日期：2026年9月22日。