1994年国赛A题：逢山开路

1994年国赛A题：逢山开路是1994年全国大学生数学建模竞赛的A题。

返回1994年国赛赛题。

地形及拟建公路

待规划区域为$0\le x\le 5600$、$0\le y\le 4800$，坐标与高程单位均为米。下表是间隔400 m的高程测量，纵向正方向为北。

y\x	0	400	800	1200	1600	2000	2400	2800	3200	3600	4000	4400	4800	5200	5600
4800	1350	1370	1390	1400	1410	960	940	880	800	690	570	430	290	210	150
4400	1370	1390	1410	1430	1440	1140	1110	1050	950	820	690	540	380	300	210
4000	1380	1410	1430	1450	1470	1320	1280	1200	1080	940	780	620	460	370	350
3600	1420	1430	1450	1480	1500	1550	1510	1430	1300	1200	980	850	750	550	500
3200	1430	1450	1460	1500	1550	1600	1550	1600	1600	1600	1550	1500	1500	1550	1550
2800	950	1190	1370	1500	1200	1100	1550	1600	1550	1380	1070	900	1050	1150	1200
2400	910	1090	1270	1500	1200	1100	1350	1450	1200	1150	1010	880	1000	1050	1100
2000	880	1060	1230	1390	1500	1500	1400	900	1100	1060	950	870	900	930	950
1600	830	980	1180	1320	1450	1420	1400	1300	700	900	850	840	380	780	750
1200	740	880	1080	1130	1250	1280	1230	1040	900	500	700	780	750	650	550
800	650	760	880	970	1020	1050	1020	830	800	700	300	500	550	480	350
400	510	620	730	800	850	870	850	780	720	650	500	200	300	350	320
0	370	470	550	600	670	690	670	620	580	450	400	300	100	150	250

在$y=3200$附近有东西向山峰，从（2400，2400）至（4800，0）有西北—东南走向的山谷。（2000，2800）附近有山口湖，最高水位略高于1350 m，雨季在山谷中形成溪流。

最大雨量时，水面宽度与溪流最深处的横坐标近似满足

$$w(x)={\left(\frac{x-2400}{2}\right)}^{3/4}+5,2400\le x\le 4000.$$

公路从山脚（0，800）出发，经居民点（4000，2000），通向矿区（2000，4000）。

成本与坡度约束

坡度$\alpha$定义为上升高程与水平距离的比值。

工程	成本（元/米）	坡度限制
一般路段	300	$\alpha <0.125$
桥梁	2000	$\alpha =0$
隧道	长度≤300 m时1500；长度>300 m时3000	$\alpha <0.100$

问题1：经指定居民点的线路

提出线路方案，说明设计原理和方法，给出较精确的路线位置，包含桥梁、隧道的位置，并估算总成本。

问题2：居民点改为居民区

将必须经过的单一点改为$3600\le x\le 4000$、$2000\le y\le 2400$的居民区，只要求路线经过该区域。讨论线路方案应怎样改变。

附件与来源

官方1992—2000年题目汇编PDF。本题见汇编第4页。

来源：全国大学生数学建模竞赛官方发布页。核对日期：2026年9月22日。