1997年国赛A题：零件的参数设计

1997年国赛A题：零件的参数设计是1997年全国大学生数学建模竞赛的A题。

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标定值、容差与费用

零件参数由标定值和容差描述：成批生产时标定值对应平均值，容差限定允许偏离范围。将参数视为随机变量时，标定值是期望；没有特殊要求时，容差通常取标准差的3倍。

产品参数偏离目标会造成质量损失，而缩小零件容差又会提高制造成本。本题用粒子分离器的具体数据，要求建立兼顾两类费用的参数设计办法。

产品参数公式与质量标准

粒子分离器参数$y$与七个零件参数满足以下经验公式：

$$y=174.42\frac{x_1}{x_5}{\left(\frac{x_3}{x_2-x_1}\right)}^{0.85}\sqrt{\frac{1-2.62{[1-0.36{\left(\frac{x_4}{x_2}\right)}^{-0.56}]}^{3/2}{\left(\frac{x_4}{x_2}\right)}^{1.16}}{x_6{x}_7}}.$$

目标值$y_0=1.50$。当参数偏离$y_0\pm 0.1$范围时，产品为次品，损失1000元；偏离$y_0\pm 0.3$范围时，产品为废品，损失9000元。

容差分A、B、C三个等级，相对于标定值分别为±1%、±5%、±10%。下表成本单位为元，“/”表示没有该等级的零件。

参数	标定值范围	C等	B等	A等
x1	[0.075,0.125]	/	25	/
x2	[0.225,0.375]	20	50	/
x3	[0.075,0.125]	20	50	200
x4	[0.075,0/125]〔原印〕	50	100	500
x5	[1.125,1.875]	50	/	/
x6	[12,20]	10	25	100
x7	[0.5625,0.935]	/	25	100

官方汇编的$x_4$范围上界印为“0/125”，旧站转录为0.125；该印刷差异尚无已核实的官方更正。$x_7$上界按官方保留为0.935。

原设计与任务

每批生产1000个产品。原标定值依次为

$$(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7)=(0.1,0.3,0.1,0.1,1.5,16,0.75),$$

所有容差均选该零件最便宜的等级。

综合质量损失与零件成本，重新设计每个零件的标定值和容差，并与原设计比较，给出总费用降低了多少。

附件与来源

官方1992—2000年题目汇编PDF。本题见汇编第9页。

来源：全国大学生数学建模竞赛官方发布页。核对日期：2026年9月22日。