2003年美赛B题：伽马刀治疗中的球体配置
2003年美赛B题：伽马刀治疗中的球体配置属于 2003 年 MCM B 题，英文原名为 Gamma Knife Treatment Planning。
建模背景
立体定向放射外科希望对影像确定的小型三维颅内肿瘤施加一次高剂量电离辐射，同时尽量减少周围正常脑组织受到的剂量。题面介绍的常见技术包括伽马刀、重带电粒子束和直线加速器产生的外部高能光子束。
伽马刀装置由 201 个钴-60 放射源产生射束，经头盔式结构汇聚到同一等中心；在有效剂量范围内，剂量分布近似球形。对一个等中心实施一次照射称为一个 shot，可用球体表示。
装置有四种可更换的外准直器头盔，射束通道直径为 4、8、14 和 18 毫米，用于不同大小的照射区域。超过单次照射范围的目标需要多个 shot，实际治疗通常采用 1—15 次。目标区域是有界三维数字影像，通常由数百万个点组成。
一般治疗计划所关心的指标
物理限制和生物学不确定性都影响治疗计划。题面列出的总体要求包括：减小目标区域内的剂量梯度；使指定等剂量线与目标形状匹配；满足目标和重要器官的剂量—体积约束；减小所有正常组织或器官中的积分剂量；使指定正常组织点的剂量低于耐受水平；减小重要区域承受的最大剂量。
本题的球体配置约束
- 照射球不能伸到目标区域之外。
- 照射球之间不能重叠，以避免局部热点。
- 尽可能用有效剂量覆盖目标，且被照射球覆盖的目标体积至少达到 90%。
- 使用尽可能少的照射次数。
任务
把伽马刀的最优治疗计划表述为球体装填问题，并提出求解算法。算法设计须考虑上述大规模三维目标表示，具有合理的计算效率。
原题与来源
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