不变子空间

不变子空间（invariant subspace）是一个在线性算子作用下不会离开的线性子空间。若 $T : V \to V$ ，子空间 $U \leq V$ 满足 $T (U) \subseteq U$ ，就称 $U$ 对 $T$ 不变。“不变”表示集合范围被保留，并不表示其中每个向量都保持原值。

取 $T (x, y) = (2 x, 3 y)$ 。横轴上的 $(x, 0)$ 变成 $(2 x, 0)$ ，仍在横轴；斜线 $y = x$ 上的 $(1, 1)$ 却变成 $(2, 3)$ ，离开原斜线。所以坐标轴不变，而这条斜线不具有不变性。

对角变换把横轴向量留在横轴，却把向量1,1移到2,3而离开斜线 — 同一算子对不同子空间的行为不同。判定的是子空间中所有向量的像。

基向量判定与限制

若 $u_{1}, \dots, u_{k}$ 是 $U$ 的基，只需检查 $T (u_{j}) \in U$ 。因为任意 $u = \sum a_{j} u_{j}$ 满足 $T (u) = \sum a_{j} T (u_{j})$ ，而 $U$ 对线性组合封闭。

一维子空间 $U = span (u)$ （ $u \neq 0$ ）不变，等价于存在标量 $λ$ 使 $T (u) = λ u$ 。因此一维不变子空间就是特征向量方向。零空间和整个空间总是不变；它们不一定提供有用的分解。

不变性使 $T |_{U} : U \to U$ 成为真正以 $U$ 为定义域和值域的算子。例如横轴上的限制算子只是乘以二。如果像不在 $U$ 内，就只能把限制视作 $U \to V$ ，不能据此谈 $U$ 内部的同一个系统。

适配基与分块矩阵

先取 $U$ 的基，再扩充为 $V$ 的基。矩阵前 $k$ 列对应 $T (u_{j})$ ，它们在补充基方向的坐标为零，故有 $[T] = (\begin{matrix} A & B \\ 0 & C \end{matrix}) .$ 反过来，这样的零块保证前 $k$ 个基向量张成的不变性。右上块 $B$ 可以非零：补充方向可能进入 $U$ 。只有补空间也不变时，才得到分块对角矩阵。

以 $A_{0} = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{matrix})$ 为例， $span (e_{1})$ 不变，但 $A_{0} e_{2} = e_{1} + 2 e_{2}$ 说明 $span (e_{2})$ 不变性失败。这个例子实际上没有任何不变补线。若补线由 $(a, b)$ 张成，必有 $b \neq 0$ ；若该线不变，便有 $A_{0} (a, b)^{𝖳} = λ (a, b)^{𝖳}$ 。第二坐标给 $λ = 2$ ，第一坐标随后要求 $2 a + b = 2 a$ ，即 $b = 0$ ，矛盾。故一个不变子空间未必具有不变补空间。

与其他算子交换时的构造

若 $S T = T S$ ，则 $\ker S$ 和 $im S$ 都对 $T$ 不变。对 $v \in \ker S$ ，有 $S (T v) = T (S v) = 0$ ；对 $v = S w$ ，有 $T v = T S w = S T w \in im S$ 。这两行等式分别证明两个结论。

特别地，令 $S = T - λ I$ ，就得到特征空间不变；改用 $S = (T - λ I)^{m}$ ，便得到通向广义特征空间的同一机制。

不变性取决于数域。平面上旋转九十度的实矩阵 $R = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix})$ 没有实一维不变子空间：若 $R u = λ u$ 且 $λ \in ℝ$ ，再作用一次得 $- u = λ^{2} u$ ，迫使 $λ^{2} = - 1$ ，矛盾。放到复数域中则存在特征方向。

变式把最初算子改为 $T (x, y) = (2 x, 2 y)$ 。这次任意直线过原点后都不变，因为像始终是原向量的两倍；并不是只有坐标轴才能构成不变子空间。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§5A（不变子空间）、5E（交换算子）；本文例子与图解独立构造。