不同函数的增长

函数增长的比较先要说清输入怎样变化。一次函数对同样的输入增量增加同样的量；指数函数对同样的输入增量乘同样的倍数；幂函数则在输入按倍数变化时，输出按固定幂次变化。只看几处函数值，不能把有限范围的快慢写成全局规律。

固定增加与固定翻倍

设 $L (n) = n + 4$ 、 $Q (n) = n^{2}$ 、 $E (n) = 2^{n}$ ，先只让 $n$ 取非负整数。 $L (n + 1) - L (n) = 1$ ，每前进一步固定加 1； $E (n + 1) / E (n) = 2$ ，每前进一步固定翻倍； $Q (n + 1) - Q (n) = 2 n + 1$ ，它的增量也在变，但并非固定倍增。

在 $n = 2$ 时三者分别为 6、4、4；在 $n = 4$ 时为 8、16、16；在 $n = 8$ 时为 12、64、256。初期大小顺序变化，不能用一处交叉点断言某个模型从开始就“增长最快”。数值表只是提出猜测，还须根据式子的结构证明更远处的关系。

一个可证明的整数范围

对整数 $n \geq 4$ ，可以用归纳法证明 $2^{n} \geq n^{2}$ 。起点 $n = 4$ 两边都是 16。若 $2^{n} \geq n^{2}$ ，则 $2^{n + 1} \geq 2 n^{2}$ ；而 $2 n^{2} - (n + 1)^{2} = n^{2} - 2 n - 1 > 0 (n \geq 4),$ 所以 $2^{n + 1} > (n + 1)^{2}$ 。归纳步成立，说明超过这个起点后，整数序列中的指数值一直高于平方值。这一证明的结论是整数范围的比较；若讨论所有实数 $x$ 的渐近增长，还需相应的连续函数分析。

对数增长处理相反的问题

$\log_{2} x$ 记录把 2 乘方多少次才能达到 $x$ 。输入 $x$ 从 8 翻倍到 16，对数只从 3 增加到 4；每让输入翻倍一次，对数增加 1。它把倍数变化压缩为加法变化，而 $2^{x}$ 把加法步长放大为倍数变化。两者互逆，比较时应固定同一输入范围，别把 $\log_{2} x$ 在 $x \leq 0$ 上也拿来计算。

一个模型例子是文件每期增加固定的 2 MB，另一个每期变为原来的两倍。前者有 $S_{n} = S_{0} + 2 n$ ，后者有 $T_{n} = T_{0} 2^{n}$ ；同样叫“增加”，但需要的存储估计完全不同。真实数据可能有上限、干预或比例变化，公式只在所声明的机制持续时适用。

练习：若数量每步乘 $3 / 2$ ，连续四步后是初值的几倍？由 $N_{k + 1} = (3 / 2) N_{k}$ 反复代入，得到 $(3 / 2)^{4} = 81 / 16$ 倍；把四步增量误当成 $4 \times (3 / 2)$ 会把乘法规律错写成加法。

参考资料

OpenStax，《Precalculus 2e》，第 4 章要点：指数与对数关系。
继续阅读：幂函数的图像与性质、指数函数、对数与对数函数。