伽马分布

伽马分布（Gamma distribution）是一族支撑在非负半轴上的连续概率分布。它用形状参数控制右偏程度，用尺度参数控制数值单位；当形状参数为正整数时，还能表示若干独立指数等待时间之和。本文采用形状 $\alpha >0$、尺度 $\theta >0$ 的约定，记作 $\mathrm{Gamma}(\alpha ,\theta )$。

设三个独立阶段的等待时间各服从均值为二分钟的指数分布。总等待时间服从 $\mathrm{Gamma}(3,2)$。后面的面积和尾概率均围绕这个合成模型计算。

密度的归一化与参数

对 $x>0$，密度为 $$f(x)=\frac{x^{\alpha -1}{e}^{-x/\theta }}{\Gamma (\alpha ){\theta }^{\alpha }},\Gamma (\alpha )={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{\alpha -1}{e}^{-t}\mathrm{d}t.$$ 负半轴上密度为零；闭支撑为 $[0,\mathrm{\infty })$，但在零点没有概率质量。作代换 $t=x/\theta$，分子积分变为 ${\theta }^{\alpha }\Gamma (\alpha )$，所以总概率为一。$\alpha >0$ 保证零附近的幂函数可积，指数项保证无穷远处收敛。

另一些文献使用率 $\beta =1/\theta$，将密度写成 ${\beta }^{\alpha }{x}^{\alpha -1}{e}^{-\beta x}/\Gamma (\alpha )$。率的单位是时间的倒数，尺度的单位是时间；软件中 scale=2 对应率 $1/2$，不是率二。

三条曲线均使用尺度 θ=2；峰的位置随形状变化。

固定尺度为二时，形状一给出在零附近最高的指数密度，形状三和五则把峰移到正值。由 $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log f(x)=\frac{\alpha -1}{x}-\frac{1}{\theta }$$ 可知 $\alpha >1$ 时众数为 $(\alpha -1)\theta$；$\alpha =1$ 时递减，$0<\alpha <1$ 时零点内侧密度发散，但仍可积。

等待时间相加

先令两个独立变量 $X\sim \mathrm{Gamma}(a,\theta )$、$Y\sim \mathrm{Gamma}(b,\theta )$，尺度相同。和的密度为卷积： $$f_{X+Y}(s)=\frac{e^{-s/\theta }}{\Gamma (a)\Gamma (b){\theta }^{a+b}}{\int }_0^s{x}^{a-1}(s-x{)}^{b-1}\mathrm{d}x.$$ 令 $x=su$，积分等于 $s^{a+b-1}B(a,b)$。使用贝塔积分 $B(a,b)=\Gamma (a)\Gamma (b)/\Gamma (a+b)$，便得到 $\mathrm{Gamma}(a+b,\theta )$ 的密度。对形状一反复相加，证明了开头三个指数阶段的总时间结论。若尺度不同，卷积中不能把同一个 $e^{-s/\theta }$ 提出来，这个相加规则便不能直接使用。

矩与尾面积

对实数 $r>-\alpha$，同一个变量代换给出 $$𝔼[X^r]=\frac{1}{\Gamma (\alpha ){\theta }^{\alpha }}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{x}^{\alpha +r-1}{e}^{-x/\theta }\mathrm{d}x={\theta }^r\frac{\Gamma (\alpha +r)}{\Gamma (\alpha )}.$$ 当 $r\le -\alpha$ 时，零附近的积分发散。取一、二阶并用 $\Gamma (a+1)=a\Gamma (a)$，得到 $$𝔼X=\alpha \theta ,𝔼X^2=\alpha (\alpha +1){\theta }^2,\mathrm{Var}(X)=\alpha {\theta }^2.$$ 总时间的均值为六分钟，方差为十二平方分钟，与三个独立阶段的均值和方差相加一致。

对形状三，尾积分可逐次分部积分：令 $z=x/2$，有 $$Pr(X>x)=\frac{1}{2}{\int }_z^{\mathrm{\infty }}{t}^2{e}^{-t}\mathrm{d}t=e^{-z}(1+z+\frac{z^2}{2}).$$ 在 $x=6$ 处，尾概率为 $8.5e^{-3}\approx 0.423190$，不是二分之一；均值与中位数无需相同。这个总等待时间也不满足无记忆性：已经等待六分钟后，再等待六分钟的概率为 $S(12)/S(6)=(50/17)e^{-3}\approx 0.146433$，与新开始时 $S(6)=(17/2)e^{-3}$ 不同。

尾概率 S(x)=P(X>x)；点标出六分钟后尚未结束的概率。

图的纵坐标是尚未完成的概率，不是密度高度。作为变式，若再增加一个独立、同尺度阶段，总时间服从 $\mathrm{Gamma}(4,2)$，均值八、方差十六。在六分钟处再加尾和的一项 $3^3/3!$，得到 $13e^{-3}\approx 0.647232$。阶段变多使相同截止时间前完成的概率降低。

非负、右偏数据本身不能证明伽马模型成立。尤其把不同速率阶段的总和硬套为同尺度伽马分布，可能匹配均值却错误描述尾部。形状允许非整数，此时密度仍有定义，但“等待整数个阶段”只适用于正整数形状。