几何重数

几何重数（geometric multiplicity）是一个特征值对应的特征空间的维数。它回答“有多少个线性无关的特征方向”，而不是“这个特征值在特征多项式中重复几次”。对于 $A \in F^{n \times n}$ 的特征值 $λ \in F$ ，记 $g_{A} (λ) = \dim \ker (A - λ I) = n - rank (A - λ I) .$ 右侧公式使几何重数可直接通过消元计算，不必数出特征向量的总数。一个一维特征空间也含无穷多个非零向量，但只有一个独立方向。

消元计算的主例

设 $A = (\begin{matrix} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{matrix}) .$ 对 $λ = 1$ ，方程 $(A - I) x = 0$ 只留下 $x_{2} = 0, 3 x_{4} = 0$ ，因此 $E_{1} = {(a, 0, b, 0)^{𝖳} : a, b \in F} = span (e_{1}, e_{3}) .$ 在实数或复数域中其几何重数为二。这里假定特征不为三，以免数字四在别的数域中与一相同；后文均取 $F = ℝ$ 或 $ℂ$ 。

特征多项式是 $(t - 1)^{3} (t - 4)$ ，所以一的代数重数为三。缺少的那个基方向是 $e_{2}$ ：它满足 $(A - I) e_{2} = e_{1}$ ，属于广义特征链，却不属于普通特征空间。

与代数重数的界

总有 $1 \leq g_{A} (λ) \leq a_{A} (λ)$ ，其中 $a_{A} (λ)$ 表示特征值的代数重数。

证明上界时，取特征空间的一组基并扩充为全空间基。因为前 $g$ 个基向量都被乘以 $λ$ ，矩阵具有分块形式 $(\begin{matrix} λ I_{g} & B \\ 0 & C \end{matrix}) .$ 其特征多项式为 $(t - λ)^{g} det (t I - C)$ ，于是根 $λ$ 至少重复 $g$ 次。下界则来自特征值定义保证存在一个非零特征向量。

对角化所需的方向数

不同特征值的特征空间之和为直和。一个证明是，若最短非平凡关系 $v_{1} + \dots + v_{r} = 0$ 由不同特征值的非零特征向量给出，对它作用 $A - λ_{r} I$ ，就得到更短的非平凡关系，矛盾。因此若特征多项式完全分裂， $A$ 可对角化当且仅当所有特征值的几何重数之和为 $n$ ，也等价于每个几何重数都等于对应代数重数。

主例中四的特征空间为 $span (e_{4})$ ，几何重数为一。总共只能选出三个独立特征向量，少于空间维数四，因此不能对角化。若把右上方的 $a_{12} = 1$ 改为零，矩阵就已对角，一的几何重数升为三，代数重数却不变。

重根并不自动造成缺陷

对 $B = 2 I_{3}$ ，唯一特征值二重复三次，特征空间却是整个空间，几何重数也为三。重根本身不妨碍对角化；需要检查其特征空间是否有足够多的方向。

变式取 $C = (\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{matrix})$ 。方程 $(C - 2 I) x = 0$ 给 $x_{2} = x_{3} = 0$ ，所以几何重数为一，代数重数为三。把幂次核也算出来，则 $\dim \ker (C - 2 I)^{2} = 2$ 、三次为三，额外的信息刻画了那一条长度三的广义特征链，而不是增加普通特征方向。

参考文献

Sheldon Axler，Linear Algebra Done Right，第四版，§5A、5D（特征空间、对角化）；8B（重数）；本文例子与图解独立构造。