函数图像的平移与伸缩

函数图像的平移与伸缩把已知曲线上的点变成新曲线上的点。读变换式时分清“输入坐标怎样改”和“输出坐标怎样改”，比背方向口诀更可靠。

跟踪抛物线上的点

从 $f (x) = x^{2}$ 出发，令 $g (x) = 2 (x - 1)^{2} + 3$ 。若原图上一点是 $(u, u^{2})$ ，要在新图得到相应值，令 $x - 1 = u$ ，故新点的横坐标是 $u + 1$ ，纵坐标是 $2 u^{2} + 3$ 。变换是 $(u, v) ⟼ (u + 1, 2 v + 3) .$ 所以顶点 $(0, 0)$ 去到 $(1, 3)$ ，点 $(2, 4)$ 去到 $(3, 11)$ 。曲线先向右一单位，再在竖直方向拉为两倍，最后向上三单位。

原抛物线y等于x平方与变换后抛物线y等于二乘x减一的平方加三，顶点从原点移到一三 — 新曲线的顶点移到（1，3），同样的横向偏离在新图中产生两倍的纵向变化。

一般的 $g (x) = a f (b (x - h)) + k$ （ $a, b \neq 0$ ）将原图点 $(u, v)$ 变为 $(h + u / b, a v + k)$ 。因此输入中的系数 $b$ 对应水平坐标除以 $b$ ；若 $b < 0$ 还会发生水平反射。输出前的 $a$ 则直接乘在纵坐标上。

不同次序可能给不同曲线

先把 $f (x) = x^{2}$ 向上移3，再竖直拉长两倍，得到 $2 (x^{2} + 3) = 2 x^{2} + 6$ ；先拉长再上移，则是 $2 x^{2} + 3$ 。两次操作不交换。水平变换也一样： $f (2 (x - 1))$ 的原点对应 $x = 1$ ，而 $f (2 x - 1)$ 的原点对应 $x = 1 / 2$ 。

变换后的定义域要从输入限制重新推得。若 $f$ 只在 $[0, 4]$ 有定义， $f (2 (x - 1))$ 要求 $0 \leq 2 (x - 1) \leq 4$ ，故新定义域是 $[1, 3]$ 。只移动画好的线却忘记端点，会得到错误图像。

参考资料

OpenStax《Precalculus 2e》§1.5：平移、反射与伸缩。
同书 §1.2：图像的输入和输出范围。